几何方法在大学数学教学中的应用

　　在大学数学的课堂教学中，如何应用几何方法培养学生的逻辑与直观相结合的完备的思维能力体系，是一个值得研究的问题。大学数学课程是高等教育各个环节的必修课程，它在高等教育过程中占有非常重要的地位。该课程具有高度的抽象性，学生在学习过程中难免会遇到些困难。以往的大学数学教学往往过多地关注结论的推理和演绎，却忽视了数学科学的直观性。通常认为，逻辑与直观是数学思维的两大来源，二者是相辅相成的，缺一不可。抽象离开了直观是不会走得太远的，同样在抽象中如果看不出直观，说明还没有把握住问题的实质[1]。在教学过程中，我们应该对直观性的数学思维方法给予一定的重视，可以适当地引进几何直观，用几何方法或结论来帮助学生理解问题的产生、得出的结论等。从某种程度上来说，几何直观比严格的逻辑推理更重要。我们将从几个方面来阐述如何有效地在大学数学课堂教学中引进几何直观，如何利用几何直观来理解概念、解决问题。

　　一 几何方法在高等数学课程中的应用

　　高等数学课程是大学生进入大学校门的第一门理工科课程，它对各专业后继课程的学习有重要的作用，它是学习后继课程的必要准备和理论基础，在高等教育中占有重要地位。但是，这门课程留给历届学生的印象往往是“抽象”“枯燥”“晦涩难懂”。为什么会出现这种情况，这是值得教育工作者，尤其是站在教学一线的广大教师深思的问题。在以往的教学过程中，我们只注重结论的逻辑推理，忽视了问题具有直观性的几何意义。无论多么严格的逻辑推理，只是使学生相信结论的正确性，但不具有启发性。我们在引导学生解决问题时，要注意适当地引进几何直观，开拓学生的视野，形成直观性与抽象性相结合的思维体系。我们仅举一例说明几何直观在高等数学课程中的作用。

　　例 求旋转抛物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之间的最短距离。

　　关于这个问题，我们采用两种不同的方法解决，其中之一是利用条件极值的方法[2]，不涉及几何直观方法，而另一种采用几何直观，再将这两种方法加以比较。

　　方法一：设P(x，y，z)为旋转抛物面z=x2+y2上任一点，则P到平面x+y-2z=2的距离为：d=|x+y-2z-2|。于是问题转化为：求函数f (x，y，z)=(x+y-2z-2)2在约束条件z=x2+y2下的极值。作拉格朗日辅助函数：F(x，y，z，λ)=(x+y-2z-2)2-λ(x2+y2-z)。

　　令

　　F'=2(x+y-2z)-2λx=0，

　　F'=2(x+y-2z)-2λy=0，

　　Fx'=2(x+y-2z)(-2)+λ=0，

　　F

　　'=x+y

　　-z=0.

　　经过繁琐的计算，得上述拉格朗日函数的唯一驻点：x=y=，z=，λ=1。将上述驻点代入距离d=|x+y-2z-2|，再由实际意义知最小值存在，于是得到旋转抛物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之间的最短距离为。

　　上述解答看似简单，但计算量较大，尤其是求驻点的过程十分繁琐。我们再来看下一方法。

　　方法二：由几何直观，若旋转抛物面z=x2+y2上点P(x，y，z)到平面x+y-2z=2的距离最短，则旋转抛物面z=x2+y2在点P(x，y，z)的法向量平行于平面x+y-2z=2的法向量。但是很容易求得旋转抛物面z=x2+y2在点P(x，y，z)的法向量为(2x，2y，-1)，平面x+y-2z=2的法向量为(1，1，-2)。因此：==。从而解得x=y=。再将上述解代入旋转抛物面的方程得z=。于是将上述三个变量的值代入点到平面的距离公式得到旋转抛物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之间的最短距离d=。

　　我们将上述两种解法加以比较，发现第一种解法运用条件极值的拉格朗日乘数法，计算量很大。而第二种解法在几何直观方法的帮助下，计算量很小，几乎借助于心算就能解决问题。而且这种方法具有一定的普遍意义，例如用此方法可以解决闭曲面上到平面的最短和最长距离，等等，而第一种方法不一定凑效。其次，第二种方法所使用的直观性数学思维，是数学学习和研究的最重要的思维方法之一，它有助于学生形成抽象与直观相结合的完备的数学思维方法，而这正是新的形势下社会对高等教育提出的新的要求，值得高等教育从业者大力倡导。

　　二 几何方法在数理统计课程中的应用

　　通常认为，统计学与纯数学的关系不大，甚至国内外有些学者认为统计学不属于数学的范畴。但统计学是较多地将数学作为基本工具的学科是没有争议的。其实，不仅传统的微积分等在统计学中运用较多，几何学在统计学中也有用武之地。不仅如此，在统计学中，如能恰当地使用几何学，往往能起到事半功倍的作用。教育工作者在从事统计学教学时，也要有意识地利用几何直观方法来培养学生的直观思维能力。这往往有助于学生更深刻地理解统计学中的概念和方法，有助于学生理解和思考知识间的联系，养成质疑和批判的习惯。这比接受知识更重要。我们也举一例说明几何方法在统计学中的重要性。

　　例 考察n个独立的随机变量，它们均服从正态分布，均值分别为μ1，μ2，…，μm方差均为σ2但未知。设k1，k2，…，kn，为n个不全为零的常数，求kμ 的置信系数为1-α的置信区间。

　　这个问题用传统的统计学方法解决不难[3]。我们注意到，上述k1，k2，…，kn，是n个特定的常数。但是事实上我们往往要估计的不只是μ1，μ2，…，μm的一个线性组合，而是要同时估计μ1，μ2，…，μm的若干个线性组合，例如μ1-μ2，μ1+μ2-μ3及μ1+μ2-μ3等等。这时运用统计学的传统方法就会显得非常困难，甚至不能解决问题。下面我们从几何直观来考察这个问题，从中我们可以看出几何直观方法的有效性。

　　设X1j，X2j，…，Xmj，是来自总体N(μj，σ2)的样本，样本大小为m。记Xj=Xij。我们知道，随机变量服从自由度n为的卡方分布χ2(n)。且由于上述随机变量仅仅是X1，…，Xm函数，那么随机变量与随机变量V=(X-)2相互独立。故随机变量F=服从自由度为n和n(m-1)的F-分布。对于很小的正数a，查表可求得满足P(F≤d)=1-a即P[(-μ)2≤]=1-a的常数d的值。注意到上式中的(-μ)是几何学中n维欧式空间两点之间的距离函数的平方，即点(μ1，μ2，…，μm)与随机点(X1，X2，…，Xm)之间的距离平方，因此我们根据这个特征从几何学的直观性角度考虑这个问题。

　　在n维欧式空间中，过点(μ1，μ2，…，μm)的超平面方程为：

　　k1(x1-μ1)+k2(x2-μ2)+…+kn(xn-μn)=0，其中k1，k2，…，kn，

　　是n个不全为零的常数。点(X1，X2，…，Xm)到该超平面的距离平方为：。

　　几何直观告诉我们，随机点(X1，X2，…，Xm)与点(μ1，μ2，μm)之间的距离是点(X1，X2，…，Xm)到形如k1(x1-μ1)+k2(x2-μ2)+…+kn(xn-μn)=0的平面之间的最大距离，k1，k2，…，km取遍n个不全为零实数。因此不等式(X-μ)≤成立0当且仅当不等式

　　≤对任何不全为零的实数k1，k2，…，km成立。于是对任意不全为零的实数k1，k2，…，km，kiμi的置信系数为1-a的置信区间为：

　　(kiXj-，kX+)(*)

　　于是我们利用几何直观性思维很容易地解决了这样一个传统统计学方法很难解决的问题。但在实际应用中，我们一般只需求得有限个线性组合kiμi的置信区间。上述方法不仅可以做到求置信区间，而且置信系数更高。设事件A为对任意实数组k1，k2，…，km，kiμi，kiμi的置信区间为(*)式，事件B为对有限实数组k1，k2，…，kiμi的置信区间为(*)式，则事件A发生时事件B必发生，那么P(A)≤P(B)。从而上述方法得到了kiμi的置信系数至少为的1-a置信区间。

　　我们再一次看到了几何方法在大学数学教学中的作用。这种方法有利于培养学生的逻辑与直观相结合的完备的思维体系。

　　作者：王辉 来源：教书育人·高教论坛 2015年10期