不定积分中分部积分法则的教学设计

　　中图分类号： G642 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2014）10-0155-02

　　一、教材内容分析

　　高等数学的内容是以微积分为主体的，微积分主要包括微分和积分，且极限是微积分的基础，积分与微分互为逆运算。从整体结构上了解微积分的内容构造，对我们学习其中的分支内容会有很大的帮助。以华东师范大学数学系编的《数学分析》第三版（上册）为教材来分析，不定积分的分部积分法出现在第八章《不定积分》的第二节的第二部分，它起着一个承上启下的作用，在积分学中占有极其重要的地位，并为后续定积分以及重积分等内容的学习奠定了基础。换元法和分部积分法是求积分的两种重要方法，在学习了换元积分法后，虽然能求解很多类型的不定积分，但是却不能解决被积函数为两个函数（下面我们所讨论的都是指初等函数）甚至三个函数乘积的不定积分，从而很自然地引出了另一种重要的积分法――分部积分法，这就说明了学习分部积分法的必要性。

　　二、学生分析

　　大学生已经具备了较强的分析问题和解决问题的能力，也具备了一定的自主学习能力。在教学中，应以学生为主体，让学生自主探索、亲自实践，而教师在整个教学过程中起引导作用。

　　通过前面换元积分法的学习，学生已经具备了一定的基础知识，如果教师再巧妙地引入新课，就能激发起学生强烈的求知欲，使得他们积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中去，充分发挥他们的主体作用。

　　根据这部分的教学内容和学生的知识现状，教师应采用启发诱导式的教学模式，并在教学过程中注重培养学生的逻辑思维能力和动手解题能力。

　　三、教学目标

　　1.知识目标

　　1.1理解分部积分公式的定义，掌握分部积分法的实质。

　　1.2会正确使用分部积分法来求不定积分。

　　2.能力目标

　　2.1培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

　　2.2培养学生的归纳与总结能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

　　2.3培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析与类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中。

　　3.情感目标

　　3.1通过以学生为主体的教学方法，让学生自己发现分部积分法的求解规律，发展体验获取知识的感受。

　　3.2通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于探索，多方位审视问题的创新品质。

　　四、教学重点与难点

　　重点：分部积分公式的概念及运用分部积分公式求解的关键。

　　难点：如何选择和，即如何将被积式分为两部分，一部分是，另一部分是。

　　五、教学方法与学法

　　1.教法选择

　　根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用。

　　在帮助学生回顾了换元积分法的知识点之后，引导学生通过分析被积函数的组成形式，自己归纳、总结出分部积分法的求解方法和步骤。让学生主动地发现问题并解决问题，从中获得知识，老师只是进行适当的引导，所以采用启发诱导式的教学模式。

　　2.学法指导

　　对于求积分，学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是能不能找到另一种积分法，使其能更适用于求被积函数为两个函数乘积的不定积分。教学设计中要注意激发起学生强烈的求知欲，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，并参与到课堂活动中，充分发挥他们的主体作用。

　　六、教学过程

　　1.创设情境，引入新知

　　在本章的前一节，我们已经学习了不定积分的换元积分法，掌握了第一换元和第二换元法的要领。下面，我们就用学过的知识先来讨论一道例题。

　　引例[1] 求不定积分 。

　　观察发现此题的被积函数为两个不同函数的乘积，且无法直接查基本积分表求出不定积分，所以考虑直接用换元积分法试一试。由 ，

　　作变量代换 ，则 ；或由 ，作变量代换 ，则 ，而这两种结果仍不易求得原函数。这就提出了一个新的问题――能不能找出另一种求不定积分的方法可以很方便地来解决形如引例的积分呢？

　　首先，让同学们利用函数乘积的微分公式来验算 的导数，即

　　将上式两边求积分得到 。这就求出了上述引例的结果。

　　其次，引导学生从分析等式 中找出规律。

　　由 得到 ，而等式的左边正是 ，于是移项直接得到 。由此可看出，通过函数乘积微分公式的逆运算，我们可以求得一个不定积分的原函数，下面将其过程抽象为一般情形。

　　一般地，有

　　（ 、 均为 的函数）

　　故

　　即 。

　　可见求某式的不定积分，在一定条件下可以转换成求另一式的不定积分。而这一思想提供了寻找原函数的另一种方法，我们称之为“分部积分法”（integration by parts）。

　　1.1分部积分公式的定义

　　定理3.1[1]（分部积分法） 若 与 可导，不定积分 存 　　在，则 也存在，并有

　　. ⑴

　　证 由

　　或

　　对上式两边求不定积分，就得到⑴式。

　　公式⑴称为分部积分公式，常简写作

　　或 . ⑵

　　1.2分部积分公式的作用

　　结合引例分析分部积分式，可发现公式⑵对求积分有很大的作用。

　　公式⑵左右两端的 和 调换了位置，即将所求的不定积分转换为求另一个不定积分。

　　如果发现积分 有困难，而 容易计算时，利用分部积分公式就可以起到化难为易的作用。

　　2.运用新知，解决问题

　　例1[2] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 与正弦函数 的乘积，那么如何运用新知识分部积分公式来求解呢？根据公式⑵知道，首先要找出 和 ，才能代入公式计算结果。由于 ，所以让学生们可以先尝试着选 ， 。

　　解 令 ， ，则有 ， 。由公式⑵求得

　　本题中，若由 ，选 ， ，则有 ，。

　　由公式⑵得

　　显然积分 比原积分 更难积出，这是由于第二种选择 和 的方法不正确，使得积分更难进行下去。

　　例2[3] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 与指数函数 的乘积，同样要先选择

　　和 ，再代入公式计算。由于 ，所以可先选 ， 。

　　解 令 ， ，则 ，由公式⑵求得

　　同样，若根据 ，我们也可以选 ， ，则由公式⑵求得

　　可以看到等式右端的积分 比原积分 还复杂且更难积出，因此这样选取 和 是不合适的。

　　总结 由例1、例2的求解过程，引导学生思考：要成功地运用分部积分公式，其关键是什么？（答）关键是恰当地选择 和 。这是因为应用分部积分公式的目的是为了将难以积分的 变成容易积分的 。若

　　和 选择不当，积分会变得越来越复杂，甚至积不出来。所以一般来说，选择 和 的原则遵循：⑴ 从 中容易求原函数 ，⑵ 新积分 比原积分 容易积出。另一方面，由上面两个例子还可让学生分析得出，若被积函数是多项式函数和三角函数或多项式函数和指数函数的乘积，一般考虑设多项式函数为 ，使其降幂一次。

　　例3[1] 求积分 。

　　分析 被积函数是多项式函数 和对数函数 的乘积，由于基本积分公式表中没有形如 的积分公式，因此可设法把被积函数中的

　　有理化。根据 ，此题应令 等于 。

　　解 令 ， ，由公式⑵有

　　例4[1] 求积分 。

　　分析 被积函数可视为1和反正切函数 的乘积，同样基本积分公式表中没有形如 的积分公式，故考虑设法把被积函数中

　　的有理化，由于 ，此题应设 等于 。

　　解 令 ， ，由公式⑵有

　　总结 由例3、例4不难发现，若被积函数是多项式函数和对数函数或多项式函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 ，这样使用一次分部积分公式就可以使被积函数降次、简化、代数化、有理化，即分部积分法常用于消去积分中的反三角函数和对数函数。

　　由以上各例，我们看到，运用分部积分公式 求积分时，一般分为四步：

　　第一步：“选 、 ”，即选取 和 ，把所求积分 改写成 。

　　第二步：“代公式”，即利用分部积分公式化出一个新的积分 ，它与所求积分 相比，不过是把 、 互换了位置。

　　第三步：“微出来”，即把化出的新积分 中的 微出来，使之成为

　　以便计算。

　　第四步：算积分 。

　　这四步中最关键的是如何选取 和 。

　　例5[1] 求不定积分 。

　　分析 被积函数是指数函数 和三角函数 的乘积，由于有

　　和 ，所以我们考虑问题时可选 或 。

　　解 [解法一]令 ， ，由公式⑵有

　　移项得

　　[解法二] 令 ， ，由公式（2）有

　　移项得

　　分析此题的两种解法，容易看出当被积函数是指数函数与三角函数乘积时，可将指数函数设为 ，也可将三角函数设为 ，这两种方法难易程度相当。另外，像这种积分在反复使用分部积分法的过程中出现了还原的现象，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分，且最后一定要加上积分常数 。

　　3.课堂小结，布置作业

　　这节课我们主要学习了如何运用分部积分法来求解不定积分，知道了分部积分法特别适用于求被积函数为两个函数乘积形式的积分。在课堂上通过对不同题型的例题的讲解和分析，掌握了选择 和 要遵循的一般原则，并初步找出了选择 和 的规律，这个规律与被积函数的形式之间存在着很大的联系。下面我们将被积式中的函数按照求原函数的难易程度作分类，可得函数分类表（表1）。

　　表1：函数分类表

　　根据表1，对于被积函数中的两个不同函数，一般地，将居于左列的函数取为 ，而位于右列的函数就作为 。如例1 中，多项式函数 位于第二列（居左），三角函数 位于第三列（居右），于是，取 ，

　　；若被积函数位于同一列（如例6 ），则 、 的选取是任意的。

　　这节课我们重在抓住基础，让同学们掌握运用分部积分公式的方法，并从中积累了一些解题技巧。当然，在实际求解不定积分的过程中还需要用到很多的技巧，我们将继续在下节习题课中作介绍。

　　作业：课本P189，第2题中的⑴―⑷

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