案例法在概率论与数理统计课程教学中的应用与研究

　　中图分类号：G424 文献标识码：A

　　由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用，该课程不仅是理科、工科和经管专业学生学习后续课程，而且也是各个学科领域中进行理论研究和实践工作的必要基础，并在学生未来的学习工作中对提高科研能力和创新能力都具有重要的作用。该课程传统的教师讲学生听的教学方法过分地注重了知识的传授，而忽略了对学生解决和处理问题的能力的培养，同时理论往往与实际脱节，往往造成该课程教师讲得累、学生学得枯燥的现象。案例法，是以培养学生的能力为目标，以相关案例为媒介，以分析案例为切入点，以与学生共同探究为主的一种教学手段和方法。该教学法不仅具有独到的功能作用，而且有着广泛的适用对象和适用范围，是一种行之有效而被广泛采用的教学法，尤其在西方一些享有国际声誉的高校备受推崇。相对于以讲授为主的传统教学法，案例教学法是一种创新的教学理念，有利于调动教师与学生教和学的积极性，实现师生之间、学生与学生之间的多个方面的互动，能够促进理论与实践有效地结合，实现理论向实践的转化，能够激发学生的创造性思维和分析处理实际问题的能力。

　　本文拟从提高学生的数学素养、培养学生的综合能力的目标出发，结合概率论与数理统计课程的教学内容实际探讨案例法在该课程教学中的应用。本文安排如下：首先，探讨教学案例的目标设计问题；其次，研究案例法在该课程教学中的应用问题；最后，对案例法在该课程教学中应用的效果分析。

　　1 教学案例的目标设计

　　开展案例教学，必须首先要有针对性和适用性较强的教学案例，教学案例的质量直接影响到案例教学的实施效果。在具体教学过程中，案例教学目标设计可以分为以下几个方面：

　　（1）在内容上，案例来源于实际生活又高于实际生活；每个案例都侧重于分析和研究利用概率论与数理统计来解决的实际问题；在案例之后均附有相关的思考与讨论题，用以加深对相关内容的理解和掌握。

　　（2）在方法上，考虑我校以师范为主的特点，强调了案例选材的专业特点，把案例的目标、要求、内容、学习方法等进行整体设计；在案例的教学中，进一步明确案例的具体背景、内容和分析等，使学生通过对案例的具体分析与研究，从而提高了学生寻找问题，分析问题，解决问题的能力。（3）在体系上，注意与具体专业在内容体系上的一致性，保持整体的协调性；注意概率统计课程中各个章之间、各个案例之间的有效过渡，保持该课程的整体性；注意案例的内容与结构上的合理性。

　　2 案例教学在课程教学中的应用

　　（1）做好案例教学的理论准备。通过研究教材及教学大纲的基础上加深对理论的了解。在明确了相关理论的基础上来有效开展案例教学，从而能够使学生更好地理解案例，达到客观分析的效果。

　　（2）选择典型的案例。一个好的案例应同时具备目的性、启发性、生动性等特点。因此我们按照教学目标和要求来选择典型案例。

　　（3）利用多种教学方式来辅助案例教学。在借助现代化信息技术的过程中，把案例教学的相关内容用文本、图形、声音、影像等多种形式进行有机组合，按照课程大纲，做到先易后难，先感性后理性的过渡，体现学生的主体意识，提高学生的学习兴趣。比如在概率论讲授泊松分布与二项分布的关系时，借助动画可以让学生非常直观地看出他们之间的渐近逼近的关系。

　　（4）丰富考核方式。该课程的考核方式不再局限于期末一张试卷，增加了很多的过程考核（包括课堂参与情况，学习态度，个人或小组案例分析报告等），在课程总评成绩中，加大了后者所占的比例。在期末考核中，可以尝试进行开卷考试，重点考查学生在处理实际问题时，运用概率统计知识解决问题的能力。

　　限于篇幅，笔者就以概率论中学习贝叶斯公式时，选用的案例为伊索寓言中“孩子与狼”的故事说明案例法在该课程教学中的应用：

　　课前按照小组（4～6人为一组，可以自由组合）布置任务：（一）学生去图书馆或网上查阅“孩子与狼”这个故事的具体内容，（二）提前预习贝叶斯公式的相关内容，（三）思考，为什么那个小孩最后会被吃掉？村民对这个小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻画该变化过程？

　　上课时，首先让一至两位同学复述该案例的内容，即“孩子与狼”的故事，然后教师在PPT上打出具体内容，讲的是一个小孩每天在山上放羊，山里有狼出没。有一天，他在山上喊：“狼来了！狼来了！”山下村民闻讯便去打狼，可到了山上，发现狼没有来；第二天仍然如此；第三天狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两天他说了谎，人们不再相信他了。

　　附上相应的思考题：分析故事中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的？能否定量刻画该变化过程？

　　先让小组派代表发言，教师结合学生发言进行总结与补充！

　　解答步骤如下：

　　首先利用数学模型定量研究实际问题问题，需要引入变量及数学记号，令A=“小孩撒谎”，B=“小孩可信”，分析故事中村民对这个小孩的可信程度是如何下降，也就是计算和比较事件B在新的信息下的概率的变化，即条件概率；另外A=“小孩撒谎”认为是该试验中的结果，造成该结果的因素分别为B=“小孩可信”和“小孩不可信”，该问题属于典型的“由果求因”问题。

　　其次，为了进行定量分析，作必要的假设。为了计算，根据以往村民对这个小孩的印象作如下假设：P（B） = 0.8，另外假定“可信的孩子说谎”与“不可信的孩子说谎”的概率分别为第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎，村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为，由条件概率= 0.444，这表明村民上了一次当后，对这个小孩的信任程度由原来的0.8调整为0.444，也就是村民对这个孩子的最初印象P（B）= 0.8，调整为P（B）= 0.444，在这个基础上，我们再用公式计算，亦即计算这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度，即概率，经计算得以上结果表明村民经过两次上当后，对这个小孩的可信程度由最初的0.8下降到0.138。 　　思考题：请学生自己利用以上公式计算一下，这个小孩第三次说谎后村民对他的可信程度？请同学抢答，经计算得如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时怎么会再上山去打狼呢？

　　还可以让学生进一步讨论通过这个故事我们可以得到什么启示？经过讨论得出结论：如果一个人有两次不守信用，到第三次还有人相信他吗？该案例也对“事不过三”做了很好的阐述。另外通过该例题的分析与解答给出课程中的有关贝叶斯公式的内容、能解决的问题和运用过程中的注意点。课后作为练习，可以让学生改变假设条件（先验概率）或通过抽样获得先验概率的估计值再次分析故事中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的？

　　注：这个故事学生都比较熟悉，但贝叶斯公式初次接触，把这两者通过案例巧妙地结合在一起，既提高学生的学习兴趣，又通过适当的课堂讨论，在学习知识的同时还间接渗透诚信教育，可谓一举多得。通过课堂讨论和课后分组调研，学生不仅认真学习理论知识，还学会设计问卷建立模型，锻炼了解决问题的能力。

　　3 对案例法应用的效果分析

　　（1）提高了教学效率。通过案例教学，可以把理论与实践结合起来，充分发挥学生的主体意识，促使他们做出分析与决策，变被动听课为积极思考，启发了学生的思维。

　　（2）激发了学生的学习兴趣。利用课堂讨伦、小组学习等多种形式来开展案例教学，因此，学习内容更加清晰、学习资源更加丰富，学习方法更加灵活，同时提高了学生学习该课程的积极性与主动性，激发了学生深入探讨的兴趣，使得学习效果显著。

　　（3）提高了教师的业务能力。通过对案例搜集及后期对例子进行合理的加工、整理和课后对相关案例进行的修正和更新，提高了教师在概率统计课程中的教学及科研水平。

　　同任何事物一样，案例教学也具有两面性。下面结合笔者在使用案例教学过程中出现的一些主要问题谈一下该如何正确认识和运用案例教学。首先来看下问题，主要有以下几个方面：

　　（1）教学案例的统筹策划问题。比如，概率论与数理统计教学中哪一部分以案例教学为主，哪些章节适宜用案例教学法，课堂教学中案例教学应占多少比例合适等问题。

　　（2）案例缺乏质与量的保证。在教学实践中，往往会出现教学案例所涉及的行业过窄，或者借鉴国外的已有案例时效性和代表性都较差。

　　（3）案例教学实施过程中，对学生的全程参与及学生参与的积极性调动方面做得不够好。比如在课堂讨论上，有时未能及时给予必要的引导，而使得学生只是泛泛地了解而没有对案例进行全面分析与研究。

　　针对以上问题提出以下改进案例教学的一些建议：

　　（1）对教学案例的统筹设计。该教学设计应从整个课程体系层次进行统筹规划，案例教学实施前，必须制定科学的目标和计划，合理地设计出该教学的实施方案，设计配套的多元考核方式。

　　（2）加大对教学案例库的建设。要本着“以学生为主体，以培养解决问题为目标”的理念，筛选出典型的案例。同时在设计案例时，要强调案例与所学知识的相关性、案例素材的典型性和案例的时效性。

　　（3）加强对指导方法的设计。因为在教学过程中，学生的前期准备、课堂中的积极思考和分析论证均有利于提高学生的分析问题、解决问题的能力，而提高的程度则依赖于教师恰到好处的引导与总结，所以，加强对指导方法的设计显得尤为重要。

　　俗话说：尺有所长，寸有所短。尽管该教学法在很多方面具有比较优势，但不能说案例法就可以一家独大，能够取代其他各种教学方法。因此，要求我们在进行该课程教学过程中，要充分考虑到不同教学方法的多元性和合理性，处理好各种教学法的相互关系，使之相得益彰。

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