从效用角度对保险费用的分析

　　效用是指消费者在消费某种商品时所获得的满足程度，经济学的基本假设是消费者是理性的，其消费目的是在既定资源约束条件下追求效用最大化。但是未来的世界总是充满不确定性，比如对于未来可能发生的疾病、盗窃、火灾、养老、失业、子女教育等等，都需要较大货币支出，影响到我们在未来生活的质量，所以购买保险成为我们提高效用的明智选择。

　　

　　一、人们面对风险的不同态度

　　

　　

　　面对财富，人们的态度可能是大相径庭的。有的人，当他挣得第二个100元时所带来的满足程度比他所挣的第一个100元还要大，即随着财富的增长，给他带来的效用不是递减的，而是递增的，那么这种人就会为了挣更多的钱而付出更多努力，从而也冒更大风险，我们把这种人称为风险爱好者，其财富与财富带来的效用之间的关系如左图所示：随着财富的增长，其效用不仅增长，而且增长速度更快。即风险爱好者的财富效用曲线是下凸的，用数学的语言来表达就是：其效用函数U=U(w)的一阶导数大于0，二阶导数也大于0。风险爱好者的特征也可以用另外一种方式表示：根据冯.纽曼的效用指数的连续性公理，若w1各w2代表风险条件下持有的资产额，且风险发生的概率p一定，则必存在无风险资产额w1，且w0

　　pU（w0）+（1-p）U（w2）>U[pw0+(1-p)w2]

　　

　　而更多的人面对财富可能与上述态度相反，随着所拥有的财富增加，财富给他带来的满足程度是递减的，符合边际效用递减规律。可以预测，这种人面对风险是比较保守的，不会为了挣得更多的财富而冒更大的风险，我们称之为风险回避者。现实生活中大部分人属于这种类型，他们的财富与效用的关系曲线可用上图表示：随着财富的增长，其效用也在增长，但是增长速度较慢。

　　即风险回避者的财富效用曲线是下凹的。其效用函数U=U(w)的一阶导数大于0，二阶导数小于0。或者从另外一个角度来说，所以对于风险回避者，必然有：pU（w0）+（1-p）U（w2）

　　

　　第三种人称为风险中立的，其效用函数曲线如下：

　　即风险回避者的财富效用曲线是直线。仍假设其效用函数为：U=f(w)，则该效用函数的一阶导数等于某一常数，二阶导数等于零。也可以从另外一个角度来说，对于风险中立者必然有：pU（w0）+（1-p）U（w2）=U[pw0+(1-p)w2]

　　事实上，不仅不同的人对风险表现出不同的态度，即使是同一个人，随着其财富及环境的变化等原因，在不同的情况下也会表现出不同的风险态度。由于未来生活总是处于不确定性的状态之中，在风险厌恶的假设下，人们可以通过购买保险，使其未来处境由不确定的状态达到确定的状态，从而提高其效用。因此，在风险厌恶的假设下，人们存在自然的保险需求倾向。

　　

　　二、最佳保险需求量的分析

　　

　　在上述分析中，假设人们是风险回避的，有转嫁风险、消除不确定性的需求，而保险契约恰好可以满足个体转嫁风险、消除不确定性的需求。那么什么是保险契约呢？我们一般把保险契约理解为投保人缴纳保险费，以换取保险人在约定的保险事故发生时履行赔偿或者给付责任的一种契约。如果投保人购买保险，保险费率为n，保险金额为q，也就是说，投保人预先缴纳nq的保险费，得到一个损失发生时保险人赔偿q的承诺。在保险合同中，当事人双方分别称为投保人和保险人，投保人对保险的需求可以描述如下：

　　

　　1、保险契约成立的条件

　　这里，我们可以假设：(1)投保人为风险厌恶者，w代表其拥有的财富，效用函数为u；(2)可能发生两种情况：损失发生的概率为p；损失不发生的概率为1-p；(3)如果发生损失，则投保人的损失为L。投保人是否投保不改变损失发生的概率，即不考虑信息不对称和败德行为。

　　消费者如果不购买保险，存在以下两种情况：

　　状态1：损失发生，消费者的财富为w-L；效用为：U（w-L）

　　状态2：损失不发生，消费者的财富为w；效用为：U（w）

　　其期望效用为：

　　U1=pu(w-L)+(1-p)u(w)(1)

　　消费者如果购买保险的话，也存在以下两种情况：

　　状态1：损失发生，投保人的财富为w-nq-L+q

　　状态2：损失不发生，投保人的财富为w-nq

　　投保人在这种条件下的期望效用为：

　　U2=pu(w-nq-L+q)+(1-p)u(w-nq)(2)

　　根据期望效用最大化原理，投保人购买保险的条件是：

　　U1≤U2，即：pu(w-L)+(1-p)u(w)≤pu(w-nq-L+q)+(1-p)u(w-nq)(3)

　　显然，只有满足（3）式的要求，消费者才可能购买保险。

　　

　　2、消费者的最佳保险需求量与最低保险费率

　　那么，如果满足（3）的话，消费者对保险的最佳需求q为多少呢?在此，可以把w、L视为常数，消费者实际是通过确定最佳的的q，以达到效用最大化的问题，即：Max(U2)，通过对（2）式中自变量q取导数，并令此导数等于零，得到：

　　

　　

　　如果符合条件（4）的话，消费者通过购买保险使得自身所面临的两种状态进行交换，达到了承担风险的最优。

　　也就是说，在既定的w、L、p的前提下，投保人的保险需求受保险费率n的影响；投保人总会根据市场给定的保险费率n的情况，选择最大的保险需求q。 即保险需求量q可以表示为w、L、p、n的函数：q=f(w，L，p，n)

　　对于购买保险的消费者即投保人来说，最低可能的费率n是多少呢？显然，如果消费者投保后财富的期望值等于其投保前财富的期望值是最理想的，此时保险公司的利润为零。我们称这一保险费率为“公平精算保险费率”，公平费率n*满足条件：

　　p(w-L)+(1-p)w=p(w-n*q-L+q)+(1-p)(w-n*q) （5）

　　解这个方程得n*=p。

　　也就是说，只有在保险费率与损失概率一致的情况下，投保人在两种状态（损失发生与不发生）下财富的期望值相等，但是投保人获得了保险，增加了效用。这种情况是投保人最优的选择。此时，把n*=p代入（4）式，可得投保人的最佳保险需求量为L，即q=L。这就是说，如果保险费率与损失发生的概率一致，投保人会选择全额保险。那么，无论损失发生与否，投保人在投保后将面临一个确定的、最优的状态。

　　

　　3、消费者所愿意支付的最高保费率

　　上述条件n*=p只不过是从消费者的角度看最优的保费率与最佳保险额，从保险公司的角度看一般是难以接受的，因为此时其利润为零。所以保险公司所制定的保险费率n一般会大于损失发生的概率p。那么保险费率最高只能达到什么程度呢？也就是说，只要高于这一程度，消费者购买保险的效用反而不如不购买保险。

　　我们依然从消费者效用的角度来考察这一条件。假设消费者仍选择全额保险，即q=L，则设其所能够接受的最高保险费率为a，那么a应符合这一条件：

　　U(w-aL)= pU(w-L)+(1-p)U(w)

　　可以解出a的数值，它会高于损失发生的概率p，从而使保险公司盈利。

　　

　　4、一个简单的数字例子

　　

　　

　　可以得到该家庭支出的总保险费用为aL=5900，若保险额L仍为80000，则保险费率a=0.07375

　　

　　三、对保险原理与保险本质的再认识

　　

　　从表面上看，保险是保险公司提供的，投保人通过向保险公司购买保险，以缴纳一定的保险费为代价将风险转嫁给了保险人。但事实上，保险是通过在投保人之间分散风险以满足人们转嫁风险的需求，保险的本质特征就是通过将风险在投保人之间进行分散，进而实现补偿损失的作用。随着所汇集的个体投保人数量的不断扩大，只要在损失概率即公平保险费率n=p的基础上筹集保险费，投保人群体之间就可以解决内部每个投保人的损失补偿问题。也就是说，对于作为风险回避者的消费者而言，是将自身面临的风险转嫁给了整体投保人群体；而对于投保人整体而言，则是将可能的损失在群体之间进行分散。而且，只要投保人群体充分大，仅仅依赖其整体内的期望损失，所有投保人作为一个整体，就变成了一个风险中性的“保险供给者”。因此，保险公司实质上就是利用上述保险原理来向消费者提供保险产品。而最理想、最优的保险供给者，一定会采取股权充分分散的、风险中性的组织形式。

　　

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