摘 要 提出了图象最佳多值分割的概念，通过构造lebesgue测度的模板匹配公式，提出了最佳多阈值分割与图像直方图的映射关系，进而设计了与模板匹配等价的基于直方图的分割算法，该方法的计算时间不受图像大小影响，实验结果表明，该方法有很好分割效果。 关键词 最佳阈值；最佳多阈值分割；测度；模板匹配

0 引言

图像分割就是将图像分成各具特性的区域， 并提取感兴趣目标的技术和过程，是图像分析的关键步骤。它在图像增强、模式识别、目标跟踪等领域中有广泛的应用。至今已提出了多种图像分割方法，可粗略地分为基于直方图的分割方法(阈值化分割，如otsu、最大熵等)^[1][2][3]、基于边缘的分割方法^[4][5]、基于区域的分割方法^[6][7]三类。 基于一维直方图的方法速度比较快，对直方图分布成双峰或者分布比较均匀时效果比较好，但对直方图分布比较窄或分布不呈双峰特的图像，分割效果往往不理想。基于二维直方图的方法，即以像素的灰度值和邻域内部的灰度均值的二维分布所构成的直方图来进行分割，虽然可以有效提高分割效果，一定程度上可以消除噪声的影响，但计算量相当大，难以应用到实时系统。 基于边缘的方法基本思想是先检测图像中边缘点，再按一定策略连接成轮廓，从而构成分割区域。其难点在于边缘检测时抗噪性和检测精度的矛盾，若提高检测精度，则噪声产生的伪边缘会导致不合理的轮廓，若提高抗噪性，则会产生轮廓漏检和位置偏差。 基于区域的方法关键是要找到合适的种子和选择合适的生长准则，缺点是计算量比较大，并容易造成过度分割，即将图象分割成过多的区域。 本文提出了一种基于模板比配的阈值化分割算法，该方法取分割图像与原图像相似度最大时的阈值作为最佳阈值，并提出了基于直方图的算法。实验结果表明，该方法有较好的适应性，分割效果是比较理想的。

1 最佳多阈值分割方法基本思想

1.1 多值图像及多阈值分割的定义

定义1：设图像为f(x,y) ，简记为f 。存在变换t对 进行分割f(x,y) ，变量集合 ，作为分割阈值，分割后的图像为g(x,y)，简记为 g。常数集合作为g的灰度值。变换t定义如下： (1) 称分割后的图像为n值图像，进行变换t的过程叫做n阈值分割或者多阈值分割。

1.2 最佳阈值定义及搜索方法

定义2 ：若存在阈值集合对图像进行n值分割，使得分割后的图像与原图像的相似度最大，即使模扳匹配公式值最大 (2) 把阈值集合 称为最佳阈值，用最佳阈值对图像分割的过程称为最佳分割。其中 为原图像的平均值， 为分割后图像的平均值。 找出最佳分割阈值简单的方法是穷匹配法，首先选定阈值对原图像进行分割，然后进行模板匹配，使阈值遍历所有灰度，以相似度最大的作为最佳分值。但这样时间开销很大，因为首先要对原图像进行多值分割，每选定阈值后要进行二维匹配，且匹配复杂度与图像大小有关。实时性是很不理想的。

1.3 模板匹配公式的lebesgue测度表示

因为，根据riemann积分和lebesgue积分的关系，从分割图像灰度值域着手。作 (3) 其中m,m是的上界与下界， 为分割阈值，并作点集 (4) m(e)记作集合e的测度。相似度计算公式可以表示为： (5) 由 不变，可知相似度的变化只与剩余部分有关。 令 (6)

1.4 基于直方图的最佳阈值算法

为使问题进一步简化，令图像的总测度为1。直方图反映了图像各灰度比例，令灰度级k 的像素点所占比例为 h_k，则 ，令 (7) (8) 由上式可知， p的值与原图像直方图相关，当n比较小时，搜索最大值，相当于几次一维运算，复杂度只与分割阈值个数和灰度范围有关，避免了二维模板匹配过程，较大程度上降低了计算复杂度。 下面提出基于模板匹配图像分割的两个结论。定理1说明只有二值分割时，最佳阈值与分割后图像的灰度值无关。定理2给出了直方图比较均衡时有效的快速分割方法。 定理1：最佳二值分割时，最佳阈值的选取与分割后图像所取灰度值无关。 证明：二值分割图像时只取一个阈值，令其为 ， 为分割后图像所取灰度值。则 （9） 可以化为： （10）

由上式可知：对于最佳二值分割，最佳阈值与分割后所取图像灰度值 无关，把这个性质叫做分割无关性。容易证明对于n>2 的最佳分割，不具有分割无关性。 定理2： 图像的直方图均衡时，当分割后图像灰度取值为 (与分割阈值相关的值)，n值分割的最佳阈值恰好为把源图像灰度范围n等份点。 证明：此时直方图看作连续函数 ，设原图像不为零的最大灰度值为f_max ，最小灰度值为f_min 。有 ，由于n>2 时不具有分割无关性，我们使令 。 （11） 令 p对 的偏导数为零，解方程得： （12）

2 实验结果

实验采用两幅256色灰度图像，并将本文方法与经典的基于直方图的阈值化方法（otsu、最大熵方法）进行比较。实验硬件环境为amd1100 cpu ，256 m 内存。 源图像 (a) 二值分割 (b) 三值分割 (c) 四值分割 图 s图象基于模板匹配方法分割结果 图1.是本文方法的分割效果，以最大相似度为分割标准，能够最大地保留源图像和分割图像的线性相关性，实验表明该方法获得了较好的分割结果。 源图像 (a) otsu方法 (b) 最大熵方法 (c) 基于模板匹配方法 图 2.对lena图像的几种分割算法比较 图2.将本文方法和其他两种经典方法进行比较， ，实验表明三种方法对lena图象分割都能获得较好的效果，基于模扳匹配的方法保留了更多的细节特征。

3 结论

提出了以模板匹配公式为评价函数的阈值选取方法，并提出了与模板匹配等价的基于直方图的分割算法。实验取得了很好的效果，但是由于算法的复杂度随着分割阈值的增加而迅速增加，对于分割阈值比较多的情况计算时间比较长，可以通过遗传算法等优化搜索方法进行改进。

参考文献

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