纯粹逻辑的贝叶斯主义及其哲学理念分析

　　一、背景和问题

　　何谓贝叶斯方法?这一方法因最早由18世纪的英国数学家贝叶斯提出而得名。贝叶斯方法的目标指向是用概率演算(主要是贝叶斯定理)及相关统计方法来研究归纳预见问题，或者(更广义地说)科学推理的合理性问题。简单说，它有两个基本的承诺：其一是概率的主观解释或认识论解释，其二是基于(动态的)贝叶斯定理或条件化规则对信念进行修正。拉卡托斯曾认为经典的认识论问题有如下两个：①

　　1.认识的基础问题(又称评价的逻辑问题);

　　2.知识增长的问题(又称发现的逻辑问题)。

　　贝叶斯方法则较完满地回答了如上两个问题，从而在今天已逐步成为科学哲学以及认识论研究的基本范式。当前的情况是，几乎不可能绕开贝叶斯方法来谈信念的修正、接受以及证据和信念之间的关系等等问题。回首贝叶斯方法近20年来的兴起，它的发展历程并非是一帆风顺的。首先波普尔就曾论证过，定律的逻辑概率为0(下文称0论题)，准备彻底封杀贝叶斯概率逻辑方法。而C. 豪森则在《定律的逻辑概率一定为0吗?》②以及《波普尔、验前概率和归纳推理》③两文中对波普尔0论题进行了有力的反驳，为贝叶斯主义的发展扫平了障碍。但是，似乎仍面临验前概率(尽管定律的验前概率可以不为0)或基本概率的指派规则是什么的问题。为了能为基本概率确定指派的规则，人们曾提出非常有影响的无差别原则。不幸的是，无差别原则所引起的悖论让人不得不质疑其合理性，尽管有各种解决无差别悖论的方案，但都依赖于过强的条件。对于主观贝叶斯主义者来说，似乎没有这样的问题。因为他们认为，概率指派的唯一限制就是概率演算，而所谓大弃赌定理则保证了遵守概率演算的概率指派的融贯性或一致性。这种一致性不仅仅是信念的融贯性，还是逻辑的一致性。基于这种观点的贝叶斯主义，可称之为“纯粹逻辑的贝叶斯主义”(以下简称“逻辑贝叶斯主义”)。德·菲耐蒂曾说：

　　概率演算绝对不说任何实在……正如确定性的逻辑和或然性的逻辑并没有给自身增加任何东西：它仅仅帮助人们看到包含在过去已经发生的事件中所隐含的东西。④

　　众所周知，德·菲耐蒂是主观贝叶斯主义的奠基人之一。此段话亦表明，他也是逻辑贝叶斯主义的先驱者。豪森正是秉承这一传统的当前逻辑贝叶斯主义的主将，他说：“我们越来越普遍地认为演绎逻辑或它的某些拓展提供了演绎论证的标准，尽管这种认识并不隐含任何人在遇到推理的有效性问题时，会如此行为或思考。宁可说演绎逻辑的规则是对人们推理行为的限制，但是这种限制，人们可以不遵守，甚至忽略它。而我相信(已作必要修正后的)概率演算也是如此。”⑤

　　通过与演绎逻辑的类比，极力说明认识论概率是纯粹逻辑的观念，成为豪森1987年后的主要工作之一。然而，人们知道概率演算有两种：一种是德·菲耐蒂的公理化，另一种是科尔莫哥洛夫的公理化。二者的关键区别是，前者的可加性公理是有穷可加的，而后者是可数无穷可加的，后者比前者强。这两种公理化都具有所谓逻辑一致性吗?⑥。本文将以这一问题为背景，展开对豪森近来发展出的纯粹逻辑贝叶斯主义的考察和评论。

　　二、可列可加性和逻辑一致性

　　可列可加性(Countable Additivity)在概率统计中具有十分重要的意义，因为它在证明概率统计中的那些收敛定理时起到很重要的作用，凯文·凯里(Kevin Kelly)认为这条公理值得最高度的哲学关注，他的根本理由是：

　　如果概率主义的收敛定理被看作是逻辑可靠主义(logical reliabilist)处理局部非充分决定性(local underdetermination)问题以及归纳幽灵的强心剂的话，那么可列可加性的地位就可以由仅仅只是(数学)技巧上的方便，提升到支持科学实在论的核心认识论公理⑦。

　　在凯里看来，如果概率收敛的结果与真理相关的话，那么对可列可加性是否可接受的争议，就是科学实在论和怀疑论争论的重要战场。

　　可列可加性公理具有如下形式：

　　如果我们有一可数无穷并相互排斥的后果，，…那么

　　P(∨∨…)=P()+P()+…

　　在规范的概率空间中，它也有如下表达形式：

　　(CA)　P(∨∨…)=P()+P()+…=1

　　尽管，这条公理为概率论中的数学证明带来不少方便，但是它却迫使人们对这一可数无穷后果持有不均匀的概率分布。例如，对于一个全称假设，如果它一定将面临反例的话，我们知道这些反例或者在今天发现，或者在明天，或者在后天，总之，有某一天会发现。这样就形成一个反例可能出现的可数无穷序列，，…它们满足可列可加性。而可列可加性则逼迫人们持有这样的偏见，即在未来特定的有穷部分，发现反例的可能性要高于余下的整个历史。从数学上看CA公理，条件中的，…这些后果的概率和为1，那么，…不能都是0，而它们中有些必须取正数ε，这个数不管多小，它们的有穷和可以大于1-ε，使得其他剩余的无穷部分小于ε，从而出现不均匀分布。直观上说，，…后果序列不能都为0，也不能都为某个正数，有些后果概率指派要高一些，有些要低一些。更进一步的关键是，有些有穷后果的概率和趋近于1，而剩余的部分趋近于0。

　　德·菲耐蒂很明确地反对可列可加性所导致的迫使人们对概率采取的非对称性分布。他说：

　　如果对称性的缺乏⑧并不反映主体真实的判断，因为他也许对每一个可能后果的态度是无差别的，那么我们如何能够在一致性(consistency)的定义中包含这样的条件，即不允许他指派相同的概率Pn给每一个后果呢?我们应该迫使他，违背他自己的判断，实际地指派整个概率给某些有穷的事件集吗?这种在概率选择上的限制，完全背离了一致性条件的本质⑨

　　这段话表明，德·菲耐蒂反对可列可加性公理迫使人们采取某种特定的信念分布的理由有两条。首先基于他的主观贝叶斯主义的立场，他认为数学公理要符合直觉，而不是要求我们的直觉去符合数学的公理;另一个重要理由则是他认为这种指派有违概率指派的一致性条件。在德·菲耐蒂看来，我们应该基于逻辑上的一致性，给予每一种可数无穷的可能后果以同等的概率。德·菲耐蒂认为这一一致分布的概率为0。

　　人们不禁会问，这难道不是一种变相的无差别原则吗?另外一个问题是，文中出现的“一致性”究竟是那种意义上的一致性?德·菲耐蒂的文章和书籍是用法文写的，他用的词是“coherent”而不是“coherence”。英文相应的翻译是“consistency”和“coherence”。

　　豪森指出，德·菲耐蒂1937年的那篇著名论文的译者H. 凯伯格(Henry Kyberg)就提到德·菲耐蒂本人认同的英文翻译是“consistency”，即逻辑学意义上的无矛盾性，而“coherence”在德·菲耐蒂意义上，是指对信念额外的限制。因此，豪森得出结论，德·菲耐蒂所谓的概率指派一致性，指的就是逻辑一致性⑩。而逻辑一致性具有绝对性(11)，即独立于任何特定语言框架，所以这与通常的依赖于特定语言框架的无差别原则的使用是根本不同的。豪森的基本立场是，概率的主观解释与绝对一致的逻辑概率是相容的，而后者为前者提供了逻辑基础。这也使得他与卡尔纳普的相对于特定语言框架的概率逻辑主义划清了界限。受德·菲耐蒂的启发，他开始对概率演算的逻辑地位进行构建，从而尝试走出一条纯粹逻辑的贝叶斯主义进路。

　　三、基于形式类比的归纳逻辑构建

　　在拉姆塞和德·菲耐蒂之后，主观贝叶斯主义的发展是，对主观置信度的解释主要沿着效用论的进路进行。即使德·菲耐蒂隐隐约约认同一致性的逻辑解释，但其更明确的含义是指在有穷命题集上赌商的选择不会导致大弃赌(12)，但这个命题是有条件的，即在恰当的赌金选择下。可见，他最终也转向了基于期望效用的构建。尝试用效用来测度人们的置信度这样的进路，都遇到逻辑全能问题的挑战，所谓逻辑全能问题是指根据基于主观置信度解释的概率演算，对于所有必然的命题，我们应该赋予其概率或置信度为1，并设定相互排斥的命题之间的概率或置信度是可加的。但是，一个命题是否必然，以及两个命题是否矛盾，(除在一阶命题逻辑和一元谓词逻辑情形下)并非是可计算的。然而，根据效用论的要求，一个融贯的决策主体具有这样的判定或知道必然命题的能力，并且指派它们的置信度为1，否则导致大弃赌。所以，效用论预设了在置信度的指派中决策主体是具有逻辑全能的，而现实中显然不具有这样的逻辑全能者，所以对概率主观解释的效用论模型，在原则上是非现实的。豪森指出任何尝试发展多多少少较现实的私人概率，都是一件应该被阻止的事情(13)。他要说的是，这实际上是一件毫无希望的工作。反之，如果将概率演算看作一个有效的不确定性推理的理论，就像弗雷格的一阶逻辑理论一样，它只是一个有效的推理理论，而与人们是否实际这般推理无关，那么逻辑全能问题不再成为一个问题。为主观置信度奠定逻辑的基础，这就是豪森要做的工作。他采用形式类比方法尝试构建概率演算的逻辑地位。

　　所谓形式类比，就是在两个概念系统形式结构之间的类比，它完全不依赖我们的感知经验，这与实质类比是不同的。形式类比恰当性的另一个条件是，只有在找到这两个概念系统共同的上位概念系统的情况下，我们才能进行形式类比。当然，这种共同的上位概念可能不止一个，这意味着，在归纳逻辑和一阶演绎逻辑之间的形式类比，可以在不同层次上进行，同时也意味着也许存在着更普遍的逻辑观念。

　　追随德·菲耐蒂逻辑贝叶斯主义的观念，豪森认为包含有穷可加的概率公理系统是一致的逻辑规律，并且与演绎逻辑规律的一致性具有相同的性质。问题是，后者是指句子集的真值指派的一致性，前者则是指数值指派的一致性(我们知道概率指派的是[0，1]之间的实数)。但它们都可以看作是一更普遍的概念的子类。这个普遍性的概念就是“方程集的可解性”概念。对演绎一致性与可解性之间的关系，豪森受英国数学家佩里思的启发，并通过一阶命题逻辑的树系统(Tree system)来说明。首先来看佩里思对一致性的说明：

　　一致性意味着，无论当前在任何适合于(信念函数)Bel( )和Bel(/)附加条件下，在K中都存在着一个解满足这些条件的方程(14)。

　　这里的K是指对信念函数和条件信念函数一致的指派集。以上这段话的意思是，如果K对Bel( )和Bel(/)是一致的指派，那么在满足一定的条件下，相应的方程集有解。佩里思用这一定义是来说明基于概率演算的信念函数值的指派一致性的。下面来看这一定义是否适合于演绎逻辑的情形。如果适合，那么可以说“可解性”概念就是概率一致性和演绎一致性共同的上位概念。

　　例如，我们打算检验命题集{a，a→b，b｝的一致性，根据树的方法，我们有如下树形图：

　　根据图规则，在b下加上对a→b否定后件的结果，即a和b，可以看出两支树的每一支都有一个句子和它的否定，所以这个树是封闭的，从而表明这个句子集是非融贯的。类似地，以方程可解性的语言对演绎一致性概念进行重构。例如，有方程集{v(a)=1，v(a→b)=1，v(b)=0｝，1和0分别代表真和假，而v是真值函数。这个方程集是无解的，因为在真值函项的语义规则作为条件的情况下，这个方程集中v的指派是不一致的。可见，佩里思的定义也适用于演绎逻辑的情况。因此，可以确立第一个形式类比：如果以经典的真值定义为限制，真值指派一致性的逻辑可以称作演绎逻辑的话，那么以概率演算为限制，公平赌商指派一致性的逻辑就可合法地称为概率逻辑。真值定义是{0，1｝真值指派的限制，而概率演算则是[0，1]之间实数指派的限制，豪森又称之为数的逻辑。

　　这样的形式类比在不同层次上还可以进一步展开，比方说，紧致性、能行可枚举性等等一系列演绎逻辑的性质，都可在概率逻辑中找到相应的类似物(15)。通过演绎和归纳的相互观照，无疑可以加深对逻辑的理解。但是，不能回避的问题是概率逻辑系统(本文所指的概率逻辑系统特指德·菲耐蒂概率演算系统)的完全性问题。对于这一问题，豪森的回应是概率逻辑的语义学现在还不完全清楚，所以，现在问概率逻辑的强完全性问题意义不大。至于概率逻辑的语义究竟会是怎样的，目前来看尚无满意的方案，这是逻辑贝叶斯主义面临的一个难题。另外，豪森的形式类比多少让人感到不安，因为形式类比，如果不是纯粹比例关系的等同的话，它的合理性是难以辩护的，充其量我们可以说它们是有启发意义，并具有一定的说服力的，至于这种说服力如何测定，目前并无成熟的方法(16)尽管逻辑贝叶斯主义还面临这些问题，但它对一系列根本的哲学问题，都提出了较为新颖的回答。

　　四、逻辑贝叶斯主义和休谟问题

　　关于归纳问题，豪森通过对休谟思想的挖掘(17)，认为休谟曾提出一个著名的循环论题，即任何对“未来将类似于过去”的信念的评价，无论如何都会清晰地或隐含地假定它所要证明的东西。以现代的归纳逻辑语言表达出来就是，一个有效的归纳推理，除了确定的观察或实验数据外，还必须至少有一个独立的假设(归纳假设)，实际上该假设与证据一致的可能性的权重要高于其它假设(18)。

　　令人有些惊奇的是逻辑贝叶斯主义很好地支持了休谟这一观点，并由此揭示出演绎和归纳进一步的平行关系。如果一个有效的演绎推理的结论是非平凡的(非逻辑定理)，那么它必须依赖一个非平凡的前提。类似地，一个非平凡的(非概率定理)有效的归纳推理的结论，也必须依赖一个或多个非平凡的前提。有效的演绎推理结论的内容已包含在前提中，即有效的演绎推理并不产生新的内容。类似地，一个有效的概率推理也不产生新的内容，它也仅仅是保证前提和结论之间的概率转换。这一点是好理解的，从贝叶斯定理就可看出，贝叶斯定理实际上是一个算法，输入相关项以概率值，就会输出验后概率值。但是，贝叶斯机器要真正能运作的前提就是，被验假设的先验概率不为0。在贝叶斯定理的一般形式下，也要预设有互斥且穷举的假设集，并且每个假设的验前概率以及证据的无条件概率要大于0。这也意味着，贝叶斯推理也是假定了一个或多个非平凡的假设的。

　　反过来，关于贝叶斯定理当中验前概率的指派，历来就是主观贝叶斯主义者的“烦心事”，而休谟的论证似乎一定程度上缓解了这种压力。因为基于休谟的论题，关于验前概率或无条件概率的考量，是所谓有效的不确定性推理的本质特征。可以说，逻辑贝叶斯主义对归纳逻辑的构建是休谟论题的当代翻版。

　　在我看来，这与其说是对休谟问题的解决，不如说是对休谟问题的消解。逻辑贝叶斯主义的诀窍就在于不问验前概率的指派规则，并认为归纳逻辑的研究没有必要承担这样的负担，归纳推理的合理性仅仅在于概率演算的逻辑地位。至于如何指派验前概率，豪森认为，按科学家的习惯(并且不违反概率演算)就好了，在他看来，理性辩护的限度仅仅属于逻辑的范围，构建纯粹逻辑的贝叶斯主义才是真正值得追求的事业。那么，条件化规则是否也能给出逻辑上的辩护呢?

　　五、逻辑贝叶斯主义和条件化规则的合理性

　　信念修正原则(updating rules)，有时又称贝叶斯条件化规则(Bayes Conditionalization)，在贝叶斯理论中具有极其重要的地位，广泛地被认为具有公理的地位，它也是贝叶斯理论的核心特征之一。它的表述如下：

　　如果P(a)>0，那么Q(b)=P(b/a)。

　　相应的认识论解释是，如果一个证据a的无条件概率大于0，那么关于假设b的置信度，会在习得证据a为真的情况下发生改变或修正，修正后的b的新的置信度Q等于b在以a为条件的条件概率[这里Q( )=P(/a)]。关于条件概率的定义项中的各相关项的概率是所谓的旧概率(在这里新旧是时间先后的概念)，又称验前概率或无条件概率。

　　对以上这条规则的辩护是很多的，其中最有名的就是所谓动态大弃赌论证，现在来看，这些论证都是站不住的。而逻辑贝叶斯主义对此规则的有效性作出了较为有力的回答。逻辑贝叶斯主义回答这一问题的基本思路就是，在一定条件下，这条规则是一条有效的规则。这个条件就是所谓“动态的肯定前件式”(19)，这是演绎逻辑中肯定前件式的概率版本。请看如下类比：

　　(1)Q(a)=1，Q(b/a)=q，∴Q(b)=q。

　　这是演绎逻辑中分离规则的概率表述，即用在[0，1]中的q值替换二值逻辑中的真值[0，1]。类似地可得，

　　(2)Q(a)=1，Q(b/a)=P(b/a)，∴Q(b)=P(b/a)。

　　易见，(2)是概率演算中的一条定理，(2)的前提和结论中出现的Q都是共时的概率函项，这条规则可以由通常的“共时”的概率公理推导出来，从而条件化规则无需额外的辩护。这条定理的可应用性条件之一，即Q(a)=1，又称严格条件化，它意味着在习得a为真的情况下，关于a的置信度Q(a)=P(a/a)=1[当P(a)>0]。这与人们通常指派观察证据的概率为1，似乎也是吻合的。但是，严格条件化包含了理想化的假设，即观察行为能够发现一个观察陈述的真或假。正因为这一假设似乎过于理想化，杰弗瑞(Jeffery)的条件化规则Q(b)=P(b/a)Q(a)+P(b/a)Q(a)就是基于观察行为并非能够完全判定一个观察陈述的真或假而提出来的，或者说我们在信念修正时，不仅仅考虑观察陈述为真的概率，而且还考虑观察陈述为假的概率，它使得以上的贝叶斯条件化规则不过是杰弗瑞规则的一个特例，这使得杰弗瑞条件化规则似乎更有其合理性。豪森却认定贝叶斯条件化规则在逻辑合理性上并非比杰弗瑞规则差，他的基本理由是杰弗瑞规则成立的充分必要条件是如下两个方程同时成立：Q(b/a)=P(b/a)和Q(b/a)=P(b/a)，而这两个方程的合理性需要逻辑之外的辩护(20)。他的潜台词是逻辑之外的辩护必定导致循环或无穷倒退。

　　六、进一步的挑战

　　以豪森为代表的逻辑贝叶斯主义，为当今贝叶斯理论的研究提供了一个新的视域，其哲学效应从以上的论述可以看出，他对当今贝叶斯推理合理性所相关的重大基础哲学问题(逻辑全能问题，休谟问题和条件化规则的合理性问题)都提出了较为独到而统合的解决。尽管对每个不同问题的回答，会有不少争议，但从统合力和其解决问题的简单程度来看，应该说它们在贝叶斯研究领域中是占有一席之地的。然而，逻辑贝叶斯主义仍然面临着一系列问题的挑战(除了在前文中所提到的完全性问题)，这里仅挑出两个比较典型的问题，一个是理论基础上的问题。逻辑贝叶斯主义在这一问题上所面临的挑战，主要来自贝叶斯主义内部。另一个是则是整个贝叶斯主义范式在科学哲学领域中所面临的挑战。

　　第一，前文提到德·菲耐蒂为了保持所谓逻辑一致性，而拒绝可列可加性，并认为要保持逻辑一致性的话，我们应该对可数无穷序列中的每个后果指派概率为0，从而彻底放弃可列可加性。杜宾曾提出如下问题以挑战德·菲耐蒂的0概率指派(21)，而支持可列可加性。这一问题同样是对持反对可列可加性立场的豪森的挑战。下面我们对该问题做如下表述：

　　假设有一个正整数是通过如下两个程序A和B之一挑选出来的，具体是 哪一个不知道。于是，我们赋予验前概率对如下两个假设A和B都为1/2。

　　A：每一个正整数出现的概率为。相应的挑选程序可以是，抛掷均匀的硬币，经过n次抛出现第一次头朝上的次数，这个n就是我们挑选出来的那个正整数。这样挑选出来的正整数的概率分布与可列可加性所要求的概率分布是一致的。即不均匀的分布，而越小的数出现的概率越大。

　　B：每个正整数出现的概率为0，即对于可数无穷的正整数集有一致的分布。它相应的挑选机制是完全随机的。这一假设与德·菲耐蒂的逻辑一致性要求是吻合的。

　　现在问，假如我们挑选出一个正整数是某个具体的n，请问究竟是基于A还是B假设挑选出来的呢?

　　根据贝叶斯定理的计算，很容易看出，P(B/n)=0，而P(a/n)=1。也就是说，不管挑选出来的正整数是哪一个，A假设都要优于B假设，这一点完全独立于任何特定的观察。所以，我们有先验的理由认为A优于B，从而支持可列可加性而反对概率分布的一致性假设。这一问题以及相关的聚合性悖论等问题都形成了对逻辑贝叶斯主义的挑战。

　　第二，当今科学哲学的贝叶斯范式，因为对先验概率的考量，使得它甚至可以容纳历史主义的分析框架，从而将规范性分析和描述性分析进行统合的处理。但是目前来看，整个贝叶斯主义范式，还有一些对根本的科学哲学问题的处理是不能令人满意的，像简单性以及统合和理论模型选择之间的关系问题。豪森等对这一问题的态度是，简单性本身是个主观的概念，或者说完全依赖于背景知识，所以这一问题不在逻辑的考虑的范围之内。但是，随着统计学的发展，对简单性的处理有了新的突破，其中标志性的成果是AIC统计学(Akaike Information Criterion Statistics)，M. 佛思特(Malcom Foster)和E. 索伯(Elliot Sober)等已将这一成果应用于说明简单性、统合和科学合理性之间的关系等科学哲学中的一系列重大问题的处理，颇有与贝叶斯范式分庭抗礼的趋势。贝叶斯进路虽也有相应的像BIC(Bayesian Information Criterion)这样的成果，但在科学哲学领域的应用尚处于萌芽状态(22)。可见，贝叶斯主义要想真正成为科学哲学的一种新范式，仍任重而道远。

　　注释：

　　①I. Lakatos, "Changes in the Problem of Inductive Logic", in I. Lakatos (ed.): The Problem of Inductive Logic, 1968, pp. 317-318.

　　②C. Howson, "Must the Logic Probability of Laws Be Zero?" in The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 24, No. 2., 1973, pp. 153-163.

　　③C. Howson, "Popper , Prori Probabilities, and Inductive Inference", in The British Journal for the Philosophy of Science, Vol. 38, No. 2., 1987, pp. 207-224.

　　④De Finnetti, Theory of Probability, Vol. 1 London: Wilety. 1974, p. 215.

　　⑤C. Howson, "Popper, Prior Probabilities, and Inductive Inference" in British Journal for the Philosophy of Science, 1987, p. 222.

　　⑥对这一问题，即使在主观贝叶斯主义内部也是有分歧的，例如，德·菲耐蒂和豪森就反对可列可加性，而J. 威廉森(Jon Williamson)以及吉利斯(Gillis)等则支持可列可加性(参见J. Williamson, "Countable Additivity and Subjective Probability", in British Journal for the Philosophy of Science, 1999, pp. 402-403)，曾构建了关于可列可加公理的大弃赌论证，从而引起反对可列可加性的贝叶斯主义者对大弃赌定理的适用范围的质疑。

　　⑦K. Kelly, The Logic of Reliable Inquiry, Cambridge: Cambridge University Press, 1994, p. 323.

　　⑧德·菲耐蒂在这里就是针对可列可加性说的。

　　⑨De Finnetti, Probability, Induction and Statistics, London: Wiley, 1972, pp. 91-92.

　　⑩C. Howson, "De Finnetti, Countable Additivity, Consistency and Coherence", in British Journal for the Philosophy of Science59, 2008a, pp. 3-4.

　　(11)见C. Howson, "Bayesian as Pure Logic Inference", in Handbook of Philosophy of Science, Vol Statistics, ed. Dov Gabby (2008, 12, 待出版), pp. 34-35.

　　(12)豪森指出这一观点是德·菲耐蒂25年后在其1937年的名文中作为脚注加入的。见C. Howson, "Logic with Numbers", in Synthesis 156, 2007, p. 496脚注。

　　(13)同上，p. 492.

　　(14)同小注(12)，p. 496.

　　(15)C. Howson, 2008b, pp. 27-35.

　　(16)本文作者曾尝试用决策逻辑中的Bolker等值定理刻画这种说服力，见本人论文《论佩利类比设计论证的说服力》，重庆理工大学学报，2010，第1期。

　　(17)C. Howson, Hume's Problem: Induction and Justification of Belief, 2000, pp. 10-15.

　　(18)C. Howson, Scientific Reasoning: The Bayesian Approach, Chicago: Open Court., 2006. p. 79.

　　(19)同小注(18)，C. Howson, 2006, p. 84.

　　(20)同小注(19), C. Howson, 2006, p. 85.

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