感性的数学与理智的音乐

　　难道不可以把音乐描述为感性的数学，把数学描述为理智的音乐吗？

　　——J.J.西尔威斯特

　　在古希腊神话中，智慧女神叫雅典娜对森林中的阿里安德妮说：“挽起你的弓吧，向相反的方向各射出一支羽箭。当它们在飞行中相交的时候，世界就不是原来那个样子了!”它们带着截然不同的啸声，飞越了辽阔的时间和空间，突然在一点上重新相交了!在这两支羽箭相交的地方，绽放出了人类文明的奇葩。人类射出的这两支飞箭就是艺术和科学。

　　音乐与大自然

　　古希腊人把音乐的标志画成一张弓，上面有弦、有箭。弓箭是一种狩猎的工具。当利箭呼啸着撕碎空气，击中猎物，弓弦也会发出美妙鸣响。可见，古人是在诸如狩猎的世俗生活中激发出音乐的灵感，而弓本身也是一种乐器。在中国，传说黄帝命一位名叫伶伦的乐官到西山采集竹子，作为十二律的律管。这些典故都反映出音乐来自自然。

　　大自然是一位数学家，菲波那契数便是它的魔术之手。众所周知，许多花朵的花瓣是菲波那齐数：水仙花3瓣、金凤花5瓣、翠雀花8瓣、金盏花13瓣、紫苑花21瓣，雏菊花34、55或89瓣，向日葵的花盘上有21个顺时针旋形与34个逆时针旋形；在动物的世界中，还可以发现一些软体动物的甲壳花纹、昆虫翅膀的数目在一定程度上符合这个系列；一些无机物质的原子排列、分子的缔合形式也与这个数列接近，菲波那契数列的奥妙在于相邻两个数的比值近似于黄金分割率。如果说向日葵和菊花按黄金螺旋排布，是为了使单位面积内花瓣或种子排列数目最多，那么在人类的乐章中出现黄金分割率的踪影，则可能是作曲家下意识的艺术思维与大自然共振的结果。

　　菲波那契数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那契数列头几个数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声，则又从三部发展到五部结构。黄金分隔比例与音乐中高潮的位置有密切关系。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：如莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，恰恰落在黄金分割点上(160×0.618＝98.88)。据美国数学家乔·巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94％符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢？抑或只是一种纯直觉的巧合'然而，美国的另一位音乐家认为：“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。”

　　贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。

　　肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。

　　拉赫曼尼诺夫的《第二钢琴协奏曲》第一乐章是奏鸣曲式，这是一首宏伟的史诗。第一部分呈示部悠长、刚毅的主都与明朗、抒情的副部形成鲜明对比。第二部分为发展部，结构紧凑，主部、副部与引子的材料不断地交织。形成巨大的音流，音乐爆发高潮的地方恰恰在第三部分再现部的开端，是整个乐章的黄金分割点，不愧是体现黄金分割规律的典范。此外。这首协奏曲的局部在许多地方也符合黄金分割比例。

　　俄国伟大作曲家里姆斯·柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了6小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征善那艘支离破碎的航船沉人到海底深渊。在全曲最高潮也就是“黄金分割点”上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。

　　音乐与物理

　　人类历史上第一件物理仪器便是在兽骨上打一个孔，制成一支简陋的骨笛，它是乐器，也是物理上的共振器。可以说，任何一种乐器都是一个声学仪器。

　　一个乐器必然有声源，即振动源。弦乐器的振动源是振动的弦线。管乐器的振动源可以是振动的簧片，如单簧管：可以是嘴唇的振动，如铜管乐器；也可以是边棱形成的气流振动。如笛子。簧振乐器的振源是簧片的振动，鼓的振源是一个圆膜，钟的振源是整个钟体，电子乐器的振源可以是石英振荡器或是振荡电路。振源是任何乐器必不可少的。

　　乐器都有发声体。有的乐器的振源就是发声体，如鼓皮、钟体、口琴或手风琴的簧片等。管乐器是靠管来决定音调的。空气在管内形成驻波，通过管口把声音传播出去而发声。有的簧管乐器是由簧和管共同决定音调、在管口处发声的。

　　不少乐器的发声体还包括了共鸣体，如提琴的弦线振动发出一定音调的音，但音量很小，几乎听不出来，通过琴马、音柱把振动传到琴箱的上下音板，使弦线与琴箱产生共鸣，才能发出我们现在所听到的提琴的声音。这利用的是物理上的共振原理。我国唐朝有一本名叫《刘宾客佳记录》的书中，记有一则故事：洛阳某僧房中的磐。经常在斋钟敲响的时候自鸣，僧人因此被吓出病来了。他的朋友曹绍燕得知以后，用锉刀把磐锉去几个地方，于是，当钟再敲响时磐就不自鸣了。这是因为磐与钟的振动频率相同而引起了共振，而把磐磨掉一些就改变了它的固有频率，于是就与钟不产生共振了。

　　有些乐器还有附件，如大提琴的支杆是一种支持体，如柳琴的拨子、风琴的风箱、提琴的指板、琴马等，这也同仪器一样，需要有个支腿、配件等。

　　乐器作为一种声学仪器，除了本身结构以外，其发声原理、声驻波的形成、声频的合成、声波的传播、电子乐器的调制和控制、数字音源的制作、线路或结构设计等，都是物理内容。

　　乐器的分类要以其发声的物理机制为依据。制作乐器材料的性能，如湿度、硬度、弹性模量、密度、声波在材料中的传播速度、材料的阻尼性质、声阻抗等。都是物理属性。材料的处理，如人工老化、加湿、烘烤、上保护层等，都是物理方法，用的是物理测量仪器。许多研究乐器的方法，如频谱分析、波形观察、激光全息、声电模拟等，都是物理方法。乐器的保存和维护，如保持一定温度、湿度等，都与物理环境有关。

　　音乐与数学

　　几个世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中。今天的计算机科学正在使这条纽带绵延不断。

　　乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等。书写乐谱时，确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。作曲家创作的音乐是在乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的。如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系。

　　毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的。传说古希腊哲学家毕达哥拉斯有一天外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小，发现了一个规律：音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。而后，他又在琴弦上做试验，进一步发现，只要按比例划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程：如1：2产生八度，2：3产生五度，3：4产生四度等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。

　　小提琴大师梅纽因为仰慕的巴赫的赋格曲和平均律音阶。正是西方严肃音乐中所有基本逻辑和数学般严密的音响推理的集中体现。巴赫的48首十二平均律钢琴曲，实际上是数学计算得出的声音的和谐组合。

　　十二平均律的计算成果并不是西方人的发明，我国明代的没落贵族朱载堉早在16世纪就已经完成十二平均律的理论和计算。朱载堉是明朝开国皇帝朱元璋的九世孙，11岁时被册封为世子，其弱冠之年便以“数学之旨颇得其要”而知名。

　　在朱载堉之前的几千年里，中外都在探索音乐上的旋宫问题，但是基于三分损益法或五度相生法，连续进行12次运算后，并不能返相为宫。在一八度内设定12个半音，需建立起12个相等音高的“梯级”，可是在朱载堉的时代，产生这样的科学概念并不容易，更何况当时没有求解等比数列的数学方法。朱载堉开创“新法密率”，用81档的大算盘开平方、开立方，在黄钟正律和黄钟倍律之间求出了11个数，并精确到小数点后24位。相形之下，今天的袖珍计算器也只有十位数，可以想见他思维的缜密与所费劳力之巨。朱载堉将十二平均律定义为：置一尺为实，以密率除之，凡十二遍。这与今天对十二平均律的标准定义完全一致。

　　朱载堉还将十二平均律应用到管上，提出了适合我国传统律管的管口校正公式，并创制了我国历史上第一套按平均律发音的律管。他使十三支管的长度和平均律各律数值相对应，并使各律管的内径随音高递增而递减。

　　18～19世纪，“王子载堉”的名字传遍了欧洲学术界，德国物理学家亥姆霍兹在他的《论音感》著作中写道：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的反动声中，倡导七声音阶，把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国度发明的。”而朱载堉用毕生心血撰写的《律学新说》、《律吕精义》、《乐舞全谱》等进献朝廷，万历皇帝谕交礼部“宣付史馆，以备稽考”，结果束之高阁。

　　算出像的乐章

　　你可曾对大型钢琴为何制作成那种形状表示过疑问？实际上，许多乐器的形状和结构与各种数学概念有关。不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。如果说所有乐声都可用数学式来描述，这数学式可谓是简单的周期正弦函数的和。声音的三个性质：音高、音量和音质，也可在图形上清楚地表示出来。音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关。那么，为什么不能用计算的方法来作曲呢？或许数学家还可兼职一门“算曲”的工作。

　　从古希腊毕达哥拉斯学派到现代的宇宙学家和计算机科学家，他们都或多或少受到“整个宇宙即是和声和数”的观念的影响，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等人，都潜心研究过音乐与数学的关系。数学、几何与哲学相契携行，渗进西方人的全部精神生活，深入到一切艺术领域而成为西方艺术的一大特色。圣奥古斯汀留下“数还可以把世界转化为和我们心灵相通的音乐”的名言。德国著名哲学家莱布尼茨则说：“音乐是数学在灵魂中无意识的运算。”而爱因斯坦说得更为风趣：“我们这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学公式组成。”

　　来源：世界科幻博览 2007年10期

　　作者：长镶