合情估计法在大学数学教学中的应用

　　合情估计法（PEM）就是通过观察分析，对问题给以定性或粗略估计的一种方法（口语相当于毛估估法），教学实践中属于启发式教学法，在大学数学教学中具有广泛的应用。一般通过观察分析（审题），根据经验（已学的基础知识等）或特例或抽象性质具体化等，对问题给出合情（毛估估）解决的方法。合情估计法也借助观察法，观察分为直接观察和间接观察，题前观察（审题）、题中观察以及题后观察（类似验证）或相互结合综合分析应用。从推理角度分析，合情估计法属于合情推理方法，不能取代严密的推导，只是给出解决问题的启示，问题的解决必须采用演绎等严谨的数学推理方法（即论证推理）；但是合情估计法抓住了事物的本质、问题的核心，有其解决问题的内在逻辑（合情）。本文主要通过一些案例，初步探索合情估計法在大学数学教学中的应用。 

　　印象比较深的是，大学高等数学期中测验的一道题，需要利用微分的近似计算给出 的近似值。有同学给出近似值为0.98，接近1，相差较大。如果事先根据合情估计法，大致确定 接近 ，其真值在0.5左右，甚至进一步根据单调性应该小于0.5，那么就知道演算过程肯定出错了。再如，如果计算得出一个人的步行速度为100公里/小时，那就不符合常理了（除非是超人），可能计算方法或过程有误。因此，在我们的大学数学教学中，有必要系统引入合情估计法，一方面可以提高学生的认知能力，降低有些知识点的学习难度（特别是数学分析等学习曲线较陡的课程）；同时也能启发学生的学习思维，激发学生的学习兴趣，加强与学生的互动，达到活跃课堂气氛，提升课堂教学效果。 

　　一、客观题直接采用合情估计法 

　　（一）设 ，则 . 

　　答案为 ，该题的要点是要利用导数的定义求极限（合理）。如果考虑到两点间函数的变化率问题，终点减起点，很容易（合情）得出答案。在学过洛必达法则求极限后，根据合情估计法，假设该函数满足洛必达法则的条件，于是利用该法则立刻得出答案。 

　　该解法不严谨（洛必达法则只是充分条件），如果如上采用倒向洛必达法则，那也只能属于合情估计法范畴。 

　　（二）设 二阶连续可导，且 ，则 . 

　　（A） 是极小值 （B） 是极大值 

　　（C） 是拐点 （D） 不是极值， 也不是拐点 

　　该题应选择（C）。分析：最简单的合情估计法见前述，这里我们再考虑采用倒向洛必达法则（属合情估计法）。事实上，由题意立刻得到： 为函数的一个驻点，且由保号性定理得到在 的邻域内函数单调递增无极值；再由倒向洛必达法则得到 ，因此 是函数的一个拐点。该题正确解法（合理）如下：由洛必达法则得到 ，于是 

　　2 、设 二阶连续可导，且 ，则 . 

　　（A） 是极小值 （B） 是极大值 

　　（C） 是拐点 （D） 不是极值， 也不是拐点 

　　三、正项级数的比较审敛法 

　　我们先给出正项级数比较审敛法的比较基准（Benchmark）级数（或称参照物）之一， -级数的敛散性。 

　　（一）判别级数 的敛散性. 

　　分析：考虑到 ，因此采用合情估计法，该级数应与 在1到2之间的 -级数同态（同敛散），因此简单起见，取参照基准级数为 =3/2的 -级数比较，结果原级数收敛。 

　　（二）设非负函数 的某一邻域内二阶连续可导，且 ，试证明：级数 收敛. 

　　（至此，采用合情估计法分析： ，于是我们通过合情估计法找到了参照基准级数为 ） 

　　因为 ， 

　　所以两级数同态，或者（相对基准级数）原级数低态，因此级数 收敛. 

　　四、广义积分的比较判别法 

　　（一）瑕积分 与基准积分的 -积分 同态，严格的推导采用比较判别法。 

　　（二）计算I= . 

　　解：I= + = - 

　　（分析：如果上述瑕积分收敛，则I=0.一般地，判别瑕积分 的敛散性时，如果 不能利用合情估计直接法直接得到 ，那么可通过合情估计间接法来定 。但是该法往往比较复杂，因为基准积分 -积分的定 法，需采用比较判别法通过洛必达法则，事后来定 以及考虑三态等。特别地，如果假设需判别的积分收敛，最简单的方法可事先选取 =1/2；如果假定发散，最简单的方法可选取 为1或3/2或2。本题依据合情估计法直接得到，应选取 为1/2。） 

　　考虑 ，得到 （更）收敛（低态）， 

　　因此，I=0. 

　　合情估计法，作为启发式教学法，学生比较容易理解容易接受。我们知道，数学名词分为专业术语（formal）和口语（informal），如收敛、发散以及可导等就是专业术语，而有无极限、极限存在与否甚至广义存在与否以及有无导数等都是口语化的数学术语。作为专业术语的“合情估计法”，在教学实践中，可采用口语化的数学术语“毛估估法”（“姓毛名估估”）代替；对学习大学数学的学生，特别是作为通识基础课的高等数学学习的大一学生而言，相对容易理解和接受。近几年，我们也把合情估计法（毛估估法）具体运用到了教学实践中，效果相当不错。 

　　“最重要的知识是关于方法的知识”。通过前述一些案例，我们初步探索了合情估计法在大学数学教学中的应用，还有许多类似的教学案例，需要我们不断发现总结以及丰富提炼。同时建议在我们的大学数学教学中，系统引入合情估计法（毛估估法），一方面可以提高学生的认知能力，降低有些知识点的学习难度（特别是数学分析等学习曲线较陡的课程）；另一方面，也能进一步启发学生的学习思维，激发学生的学习兴趣，加强与学生的互动，活跃课堂氛围，提升课堂教学效果，而且丰富我们的教学内容，拓展我们的教学方法论，从而能够不断提高我们的大学数学教学质量。 

　　参考文献： 

　　[1] 徐利治 朱梧槚 郑毓信编著.数学方法论教程[M].江苏教育出版社，1992年7月. 

　　[2] 华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001年6月.