浅议高中数学中抽象函数问题的解法

　　本文从多个方面介绍了数学抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。

　　抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。

　　一、求抽象函数的定义域

　　1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a，b)，求函数f(x)。

　　解决这类问题的方法是：利用a　　例1. 已知函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，求y=f(x)的定义域。

　　解：因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3

　　所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定义域是[-1，4]

　　2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a，b)，求f [g(x)]函数的定义域。

　　解决这类问题的方法是：a　　例2. 已知函数f(x)的定义域为(0，1]，求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 　　解：因为函数f(x)的定义域为(0，1]

　　所以0　　由于- 　　所以不等式组(Ⅰ)的解为-a　　即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 　　

   二、抽象函数的周期性和奇偶性

　　1. 抽象函数的周期性

　　例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x∈(-1，1]时，f(x)=x2+2x，

　　求当x∈(3，5]时，f(x)的解析式。

　　解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)

　　∴f(x)是以4为周期的周期函数

　　设x∈(3，5]时，则-1　　∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3　　评注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零，a≠0)

　　①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-

　　④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)

　　则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①

　　2. 抽象函数的奇偶性

　　奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。

　　例4. 已知定义在上的函数f(x)，对于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0

　　(1)求f(0)的值

　　(2)判断函数f(x)的奇偶性

　　解：(1)令x=y=0，则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1

　　(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)

　　所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。

　　三、抽象函数图像的对称变换

　　结论1：①函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;

　　②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;

　　③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;

　　④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。

　　结论2：若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，则函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称。

　　结论3：函数y=f(x+a)与y=f(-x+b)的图像关于直线x=对称(a，b为常数)。

　　例5. 设函数y=f(x)的定义域为，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于( )

　　A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称

　　C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称

　　错解：因为函数y=f(x)的定义域为R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称，故选择B。

　　错解分析：错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈，即将两个不同函数图像的对称问题，错误地当成一个函数的图像对称问题，从而导致错误。

　　正解：因为函数y=f(x)的定义域为R，而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的，又因为f(x)与f(-x)的图像关于y轴对称，因此函数y=f(x-1)与y=f(1-x的图像关于直线x=1对称，故应该选择D。

　　四、求抽象函数的解析式

　　解决抽象函数解析式的问题，关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法，赋予恰当的数值或代数式后，通过合理运算推理，最后得出结论。

　　例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函数f(x)的解析式。

　　解：令a=0，则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1

　　再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1

　　作者：罗鑫 来源：中学课程辅导·教学研究 2016年6期