十字相乘法分解因式初探

论文导读:：十字相乘法分解因式初探，初中数学论文。
论文关键词：十字相乘法分解因式

　　在实数范围内分解因式的常用方法有好多种初中数学论文初中数学论文，其中十字相乘法是常用的方法之一。但对于有些多项式直接应用这种方法是行不通的。本文给出了通过变形而转化为直接应用这种方法的几类多项式。
　　一、可化为二次三项式的多项式
　　可化为二次三项式的多项式用十字相乘法分解因式比其他方法有规律，所以简便论文开题报告范文免费论文网。举例说明如下：
　　例1、把多项式a²x³+a(2a+1)x²+a(a+2)x+a+1分 解因式。
　　这是含有两个字母的高次多项式初中数学论文初中数学论文，由观察知，该多项式具有可化为关于a的二次三项式的特点初中数学论文初中数学论文，故重新组合后用此法分解。
　　解：a²x³+a(2a+1)x²+a(a+2)x+a+1
　　 ^{化为关于a的二次三项式} (x³+2x²+x)a²+(x²+2x+1)a+1
　　=x(x+1)²a²+(x+1)²a+1
　　x(x+1) 1
　　x+11
　　 =[x(x+1)a+1][(x+1)a+1]
　　=(ax²+ax+1)(ax+a+1).
　　例2、把多项式ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)分解因式。
　　这是轮换对称多项式，乘开后可化为关于a或b或c的二次三项式。用十字相乘法分解因式就避免了用其他方法分解的繁难。
　　解:ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)
　　^{化为关于c的 二次三项式} (a-b)c²-(a²-b²)c+ab(a-b)
　　 =(a-b)[c²-(a+b)c+ab]
　　 =(a-b)(c-a)(c-b).
　　例3 把多项式 (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y⁴分解因式
　　将该式化为关于多项式x²+5xy+4y² 的二次三项式初中数学论文初中数学论文，分解更为简便.
　　解：(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)-3y⁴
　　=(x²+5xy+4y²)²+2y²(x²+5xy+4y²)-3y⁴
　　=[( x²+5xy+4y²)+ 3y²][(x²+5xy+4y²)-y²]
　　=(x²+5xy+7y²) (x²+5xy+3y²).
　　例4 把多项式a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²++2b²c²+2c²a²分解因式。
　　解: a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²++2b²c²+2c²a^{2
　　化为关于}a^{2的二次三项式}a⁴+2(b²+c²)a²+(b⁴+2b²c²+c⁴)
　　 =a⁴+2(b²+c²)a²+(b²+c²)²
　　 =(a²+b²+c²)²
　　本例说明某些齐次式也可用这种方法分解因式。
　　二、二元二次多项式（注）（三元二次齐次式）
　　二元二次多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f在实数范围内若能分解因式，则可分解为a₁x+b₁y+c₁与a₂x+b₂y+c₂的积论文开题报告范文免费论文网。由待定系数法得a=a₁a₂, c=b₁b₂,f=c₁c₂, b=a₁b₂+a₂b₁,d=a₁c₂+a₂c₁, e=b₁c₂+b₂c₁.于是初中数学论文初中数学论文，由十字相乘法得
　　二次项ax²+bxy+cy²=(a₁x+b₁y)(a₂x+b₂y).
　　关于x的二次三项式ax²+dx+f=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)
　　关于y的二次三项式cy²+ey+f=(b₁y+c₁)(b₂y+c₂)
　　上述三式的因式分解可以表述成
　　a₁b₁ c₁
　　a₂ b₂c₂
　　由此，一个二元二次多项式如果系数间有上述关系，可用此法分解因式。
　　例1、把 2x²-7xy-22y²-5x+35y-3分解因式。
　　解： 2x²-7xy-22y²-5x+35y-3
　　2 -111
　　12-3
　　 =(2x-11y+1)(x+2y-3).
　　三元二次齐次式中，如果将第三个元看成常（系）数，也可用上述方法分解因式。
　　例2、把 2x²-3xy-5y²-11xz+31yz-6z²分解因式。
　　解：2x²-3xy-5y²-11xz+31yz-6z²
　　 2-5z
　　1 1-6z
　　=(2x-5y+z)(x+y-6z).
　　[注] 二元二次多项式的因式分解也可以用一中讲的方法去做。
 

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