中美大学数学教学改革比较与借鉴

　　该文回顾了美国大学数学基础主要是微积分课程近60年教学改革大致主要历程，从教学内容到习题形式及数量等比较了中美大学基础课程教材的区别，探讨了双方大学数学教学的理念和形式，美方教学偏注重“四原则”，多角度及实用的去描述展现数学基本概念，而我们则侧重扎实的理论推导演绎。通过比较和分析，结合一贯的传统严谨严密特点，借鉴国外应用性和启发性强的特色，发挥平衡各自所长，摸索一个合适我们特色的大学基础数学教改方式与模式。

　　随着数学本身和计算机科学的飞速发展以及微积分、线性代数等基础知识在各领域的广泛应用，大学数学的教学改革的必要性和重要性越来越被人们所认可，一些教学改革的活动也被人们所接受，这与国外的情况相一致。虽然中国与美国等国家在政治、经济、教育和管理体制等许多方面有很大差异，但是在高等数学的教学改革方面有相似之处，也有不同之处，该文调研了美国的一些改革历程思路和方法，以作为我们大学数学课程教学改革的借鉴。

　　1 美国大学数学基础课教学改革

　　美国大学数学基础课程改革自上而下、思路清晰。美国的微积分教学在近60年来经历了巨大的变革，特别是20世纪80年代后期的“微积分改革”。[1-2]20世纪80年代开始，美国的一些高校开始研究数学课程教学特别是微积分的教学形式改革。主要是由于以下原因：(1)信息技术不断进行创新，并且开始对教学方面产生一定的影响;(2)很多学生考试不通过，可能与教学方法有关;(3)学生们提出对数学教学改革的需求;(4)传统的教科书(比如经典的Thomas《微积分与解析几何》(Calculus and Analytic Geometry)，1st版)偏理论与实际脱节，需要重新进行选择;(5)教学方式方法落后，需要进行改进和创新;(6)可以缩小授课规模等。

　　改革以后的进展值得我们借鉴。1985年， 美国举办了数学会(AMS)年会，并进行了特别的研讨会。[3]也导致了之后两次会议的产生：首先，是1986年的Tulane大学会议，会议主要的议题是“走向精简活泼的微积分学”;[4]其次，是1987年的华盛顿会议， 会议的主要内容是“新世纪的微积分学： 水泵而非滤器”。[5]当年，美国国家科学基金会(NSF)发起了微积分改革的计划。计划的主要内容是：改进与更新微积分学的相关课程，要加强培养学生对于数学概念的理解和运用能力，提高学生分析、解决问题的技巧以及举一反三的技能。同时，改革后的教学方式要求减少繁琐、乏味的计算。NSF给予了这项改革一定的资金支持，同时也促使了数学家们对于以前的微积分课程进行了严肃的反思。

　　哈佛微积分联盟所编写的教材非常有创意，其中有很多非常特别的、非常有趣的问题，将著名的“四规则”也引入其中：“每个概念都可以以图形、文字、数值、代数的方式展现给学生”。改革的评估体现在Susan 所著的《变革中的微积分学—— 1988—1998年成果及其对国家的影响的评价报告》作了总结。[6]Ganter的结论是：大部分大学数学教师觉得之前的微积分教学方法效率较低，但谈及所做的改革是否是正确的方向发展，却有着很大争议。改革的成果激发了一些数学家们对于微积分教学方式的讨论。使得微积分的教学更加地普及，从而使教师们产生了对高校数学教育必要性以及重要性的重新认识。

　　同时，许多理工科的大学生注意到他们的具体计算能力不如从前了，这可能是教学改革的原因，当然也可能是计算机普及的结果。研究结果表明，与以前的学生相比，现在的学生选修了很多的超出学校规定的微积分学的非必修课程，这表明了微积分改革更加激起了学生对数学极大的兴趣。88%的调查报告认为，从培养学生的实际数学素质的能力方面说，微积分改革是非常成功的。计算机可以引导学生学习微积分，研究结果显示，微积分改革后，学生在基础数学上不合格的人数大幅减少。已有的改革成果成为美国数学家倡导的微积分教学方式。不断的讨论也让美国的基础数学教学充满了生命力。

　　2 大学数学基础课教材比较

　　美国高校的常用教材是Thomas《微积分》(现第10版)以及James Stewart《微积分》多个版本，，被称作“经典版本”。[7-8]Stewart所著的《微积分学》《微积分学：概念与内容》是目前畅销的教材，而改革的教材正在反过来逐渐传统化。

　　一般而言，美国高校所使用的微积分教材具有图文并茂和突出重点的特点，从内容上看，讲解细致，解释清楚，而且有含有背景知识的说明，让学生清楚地知道来龙去脉， 也有利于学生的自学。教材中普遍都是生活常见的例子，数据也都源自于生活，让学生有亲切感也有一些反映当代科技发展的最新成果的数据，这也让学生体会到生活中就有许多的数学问题。教材中的课后习题覆盖面广，编排层次由浅入深，也含有很多不同学科相互联系的交叉题，与基本概念和重要定理有效结合的图形题，以及反应生活和科技发展成果的应用题等。

　　教材也融入了新技术的应用，即微积分课程与计算机技术紧密地结合，计算机代数系统CAS，如：Mathematica、Maple、Matlab等在微积分的教学中广泛使用，并且具有极强的功能、计算机在描述图像运动、显现变量关系以及解决现实数学问题等方面能够发挥其巨大的作用，成为了微积分课程不可缺少的教学工具。因此，网络技术的快速发展也为微积分教学提供了一个全新的模式。

　　抽象概念的解释都是由一些具体问题引入，这与也突出了微积分在实际生活中的价值，兼应用和理论。课后练习题量大而且内容丰富，一般有6000题，每节结束后都有一定量的习题，每章结束后又会有一些总的习题。而且这些习题编排层次由浅入深。习题除了有练习题(Exercises)外，还设置了不同类型的小课题，例如：探索课题(Discover Project)、应用课题(Applied Project)、实验课题(Laboratory Project)和写作课题(Writing Project)。每个教材后都有一个附送光盘，里面含有教材中部分图片进行辅助的教学。教材之中也都穿插了很多的精美图片，一些是利用数学软件制成，例如：在空间解析几何与多元函数微积分中经常会出现各式各样的曲线、曲面图形。学生也可以使用网上教材学习。具体的可见附件论文《美国微积分教材的应用性和启发性赏析》。

　　所以，总体上美国大学生数学教学深度没有我们的深，但学生的数学意识和应用能力比我国的学生强。比较而言，我国很多的高校都在使用清华大学萧树铁等教授编写的《高等数学》、同济大学应用数学系编写的《高等数学》等，从概念的引入看，这两本教材强调严谨的概念、理论，先教会概念再举出例子，按照从一般到特殊的原则，当然近期的教材版本也有所改进，增加了应用例子，但大致模子还是这样的。习题的数量上看，同济教材在每节课后给出15个大题，每章结束后给出20个大题，书中所有的习题数约2000个。当然新的教科书版本也开始考虑到数学理论的应用，增加了很多实际运用的例子，从数量和范围上讲还可以继续改进。

　　3 教学理念和形式

　　多次改革历程后的美国微积分课程， 采用传统和现代兼而有之的教学模式，尤其是强调四原则(The Rule of Four)， 学生按照这些原则来进行微积分的学习，用不同的表述方式来解释微积分的概念，这远比在单一的概念中获得更多的信息，教材也增加了很多与现实生活相接轨的例子，增加了很多的数学建模问题以及增加了一些与离散数学思想的联系，将培养学生的数学意识和思维能力作为微积分课程教学的首要任务。

　　教学方式则各有特色，有传统的大班上课甚至礼堂上课，也有25人以内的小班上课，有些采用的是小组合作的学习方式，该方式有利于学生之间相互交流、启发以及帮助，增强了团队意识。一些美国大学设置的数学学习中心(Math Learning Center)、或是由学生自己组织的数学社团(Math Society)，运作方式通常是学生在学习及活动(比如数学建模)中主动向老师提出具体的数学辅导要求，老师相应给予一些辅导或讲座指导。

　　美国大学生可以根据自己的数学爱好程度、高中AP学习情况、不同专业需要，选择甚至可以不选不同难度的微积分或其他替代的数学课程，获取相应的学分，选择相对自由些。优点：灵活分层，自然精选出数学非常优秀的学生。缺点：要求学生有较强的自我认识能力及自我控制能力。

　　我国数学传统教学模式：传道、授业、解惑，老师讲、学生听，老师将书本知识扎实地传授给学生。当然近些年，也试图作些教学改革和创新，引入考察课数学实验课程，介绍常用的数学软件，数学课堂上引入了有趣的实例课件等演示、小组讨论等，由于教学进度、教学大纲及今后考研的要求，多是适可而止。关于数学课程知识的实际应用及最新的知识拓展，一般凭老师的个人科研、教学修养。当然在有限的课时内，学生若是要以后要考研，扎实的高等数学知识和解题技巧是必须的，目前的数学教育模式比较适合。同时，固定选课模式优势：基本所有的学生可以达到设定的数学要求，掌握基本的数学概念和解题技巧能力。缺点：抽象的数学可能让学生不感兴趣，但不得不硬着头皮通过统一考试;而对数学感兴趣的学生不能选更多的高级数学课程。

　　4 借鉴国外教学方法

　　学习借鉴美国大学数学基础课教学经验，摸索出适合我们大学特色的数学基础课教育体系，还有挺长的一段路程。

　　(1)由于两国大学数学基础课教学课程设置不同，学生进入大学时掌握数学知识情况不同，使得两国大学数学基础课的选课机制、学习机制、评价体系都有所不同，若要大幅度改革，估计也应该有个思想解放、自上而下的过程。

　　(2)目前来说，至少可以改革我们的教材内容。由强调严格化，注重严密逻辑推理和解题技巧，转向直观化和形象化、应用化。考虑现代技术的不断发展和大量计算机应用软件的产生，对传统的数学教学内容形成的巨大冲击，形式上可以开拓网上信息化教材内容。

　　(3)原有的师资要求，严谨的态度不变，可以改变的是固有的教学理念。美国数学老师善于将所教的数学知识与生活实际、现代科技结合。中国长期以来的教育现状，中考、高考、大学统考体制，多数大学数学教师也源于传统数学教育理念，偏爱教理论方法和解题技巧，应试性较强。一些有科研背景的老师相对知道掌握数学知识的部分应用背景，那些科研全面的同时又愿意在教学上下工夫的老师常常被学生认为是优秀的老师，但确是很少。

　　(4)教学方式，传统和改革的教学方式可以相互靠拢，形式上，手写黑板与多媒体、老师单向授课与学生独立思考、中文与英文教材等，按照数学课程特色设计合适的教学方式和模式。

　　(5)学习借鉴建立类似美国大学数学学习中心、学生数学社团等组织机构。要求我们的大学生在数学学习上有足够的主动性、组织能力和自控能力等。

　　作者：过榴晓 曹栋 来源：科技创新导报 2015年24期