初中数学思想方法教学的理论构建与实践

　　数学思想方法是数学学科的精髓，体现与揭示了数学的本质，是数学学习的指导思想和普适方法。数学思想方法教学是把数学知识学习和能力培养有机结合，提高个人思维品质和数学素养的重要途径。

　　一、初中数学教学存在的主要问题

　　数学教学是“应试教育”的“重灾区”。素质教育要求数学教育过程应注重数学素质的培养，一是数学的概念、定理、数学思想方法等方面的知识，二是具有用数学的观点、心态和方法去处理现实世界中问题的意识。但“应试教育”的功利思想，使题海战术大行其道，造成学生的高度负担和畏惧心理。

　　数学教师的专业素养有待提高。教师在数学概念、原理教学中，存在重知识讲解和识记、轻知识形成过程中的能力培养的现象，这不但使习得的数学知识孤立、零散，而且不利于良好的数学学习习惯和方法的形成。

　　学生的数学素养普遍偏低，对数学学习缺乏正确的认识。初中生多数勤奋好学，但注重结果的多，提炼方法的少；注重怎么做的多，反思为什么的少；害怕、甚至厌倦数学的多，喜欢、乃至崇尚数学的少。

　　二、成因分析

　　形成上述问题的主要原因，是教师对数学知识、数学问题的认识站位低，只关注具体的知识、具体的题目，未能洞察其中所蕴含的数学思想方法；未思考初中数学中主要的数学思想方法有哪些，数学思想方法的内涵是什么，在教材中如何呈现，如何恰当把握数学思想方法教学的度等问题。

　　要想改变这一现状，需从数学的核心问题入手，即加强数学思想方法的教学研究。故而从理论构建和实践操作层面上确定以下研究目标：①厘清初中数学教学中的主要数学思想方法的内涵及层次；②梳理初中数学教材（北师大版），明确每一节教学内容所蕴含的数学思想方法；③构建初中数学思想方法教学目标管理系统；④形成数学思想方法教学的实施策略。

　　三、主要措施

　　（一）界定初中数学的九种主要思想方法及其层次结构

　　从初中数学教育教学视角，基于适切性、有利性、高频数原则，确定了初中9种主要数学思想方法：数学模型、转换与化归、特殊与一般、数形结合、方程与函数、分类讨论、类比、字母表示数、或然与必然。对上述九种主要数学思想方法做简要的核心概念界定及内涵描述，逐一勾勒出与该数学思想方法有关的思想或方法的上下位层次结构。[1]下面以数学模型思想方法為例进行说明。

　　数学模型是数学抽象的结果，是对现实原型的概括反映或模拟，是一种符号模型。数学模型思想方法就是指通过数学模型来解决问题的一种思想方法。数学模型思想方法的上位思想是数学抽象思想、符号与变元思想、公理化和结构化思想，方程与函数是其下位思想方法。

　　采用“数学模型思想方法”而不采用“数学建模思想方法”的表述，是因为前者为广义的表述，后者为狭义的表述，广义的表述是很多教师未曾意识到的，如此表述，内涵更丰富、价值更凸显。广义的数学模型思想方法可分为三类：概念原理类、数学建模（实际问题）类、已解决问题类。

　　概念原理类模型是指数学中的每一个概念、原理等都是直接或间接地以各自相应的现实原型为背景抽象出来的。它包括数学的概念、公式、定理、法则、性质等，既蕴含了纯数学的关系结构，又能进行数学推演。

　　数学建模类模型是指用数学的方法解决实际问题，即从实际问题中发现和提出数学问题，构造相应的数学模型，然后运用数学原理进行推演，解决数学问题，进而使实际问题得以解决。初中的数学建模主要包括方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、概率模型。

　　已解决问题类模型是指某些典型问题已被解决，而该问题的解决有利于其他相关问题的解决，即该问题的结论可用于其他问题的解决，或该问题的解决思路可迁移到其他问题的解决。此时，该问题所体现的数学关系结构即为一个数学模型，待解决问题可通过转化为该问题，进而得到解决。[2]

　　（二）构建数学思想方法教学目标管理系统

　　只有构建数学思想方法教学的目标层次要求，明确提出蕴含了哪些数学思想方法，让学生掌握到什么层次，才能更好地落实数学思想方法教学，落实课标精神，从根本上提高数学教育教学质量。

　　沈文选认为，加强数学思想方法教学，应该建立一个目标明确的、可以控制的、符合学生认知规律的教学管理系统，我们称之为“数学思想方法教学目标管理系统”。它是遵循明确揭示目标、逐步渗透、循环往复、系统体现、螺旋上升的规律，按照如下程序和方法来建立的。[3]

　　1.构建数学思想方法的教学目标层次框架

　　基于课程标准、教材、初中生认知发展规律，以数学思想方法教学目标为主线，将数学思想方法教学的目标分为“渗透→显化→运用”这三个由低到高的水平层次，并将它与学生学习的主体目标“感受和觉察→领悟和形成→掌握、运用和内化”以及教学内容的认知领域的教学目标“了解→理解→掌握和灵活运用”相对应，并对教学目标层次的关键词“渗透、显化、运用”和主体目标的关键词“感受、觉察、领悟”等逐一作了作界定性表述，进而形成了数学思想方法教学的目标层次框架，[4]具体见右表。

　　2.建立数学思想方法教学目标管理系统

　　首先，依托教材，以章、节、课时为单位，逐一充分挖掘并表述初中数学教材中蕴含的数学思想方法及其教学目标层次。然后，分别将九种主要数学思想方法与能实现其教学目标的具体数学知识，按教学先后及目标层次为序，整理成一个系统，并添加教学目标控制线，建立“数学思想方法教学目标管理系统”。同时，分析各思想方法在渗透（感受、觉察）、显化（领悟、形成）、运用（掌握、运用、内化）三个层次发展的脉络，并给出数学思想方法教学目标分析示例，具体见右图。

　　（三）提出“术法道”三重教学主张

　　学生学习具体的数学知识属于下位学习，而学习数学思想方法则属于上位学习，当学生掌握了数学思想方法之后，就有助于学生更好地理解相关的具体知识点，从根本上解决数学问题。数学知识的学习和数学问题的解决，可分为“术、法、道”三个层次。

　　“术”是指解决某一具体问题的方法，如该问题的技巧性解决，该解法不具备可推广性；或者用了通法解决，却未能及时提炼。在教学中常体现为“就题解题”“一题多解”。“法”是指一类问题的解法，它具有程序化、易操作的特点，是一类问题解决的通法。在教学中常体现为“归纳总结”“多题一解”，如待定系数法。“道”是指几类问题的策略性解决，通过深入探究问题的结构特征，对问题解决做方向性、策略性思考，它具有高度的概括性和预测性特点。在教学中常体现为“数学思想方法”“多解归一”，如数学建模、转换与化归、数形结合等思想方法。

　　由此，运用数学思想方法教学，有助于学生从“道”的层面认识和解决数学问题。[5]

　　（四）形成数学思想方法教学的实施策略

　　1.在知识形成过程中渗透数学思想方法

　　概念教学中不简单地下定义。概念是数学知识的起点，不仅要重视概念的内涵，更要重视概念的形成过程，教学中引导学生感受或领悟隐含其中的数学思想方法。

　　原理教学中不过早给结论。教学中要引导学生参与结论的探索、发现、推导的过程，弄清每個结论的因果关系，让学生体会探究和发现活动中所经历和运用的数学思想方法。

　　2.在问题的解决中激活和运用数学思想方法

　　要提高学生的解题能力，应充分展现学生的思维过程，充分发挥数学思想方法对发现解题路径的定向、联想和判断功能。在数学问题的解决后反思和提炼数学思想方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，还可以达到“会一题、明一路、通一类”的效果。

　　3.在小结反思中概括数学思想方法

　　概括数学思想方法一般可分两步进行：揭示数学思想方法的名称和内涵；明确数学思想方法与具体知识的联系，使用方式和范围，并适时推广联系。