数学知识不确定性的价值及其实现

　　20世纪末21世纪初,人类知识观发生了重大变化：知识不再被认为是“真理”而被当作一个暂时的结论。它有待发展、修订与完善。正如波普尔（Pop?per,K.)所言：“所有的科学知识，不仅是科学知识,在实质上都是‘猜测性的知识’，都是我们对于某些问题所提出的暂时回答”。换句话说,人们认为知识具有不确定性。由于知识是教育的主要内容，因此知识观的变化必然带来教育的变化。本文主要讨论数学知识的不确定性及其教学问题。

　　一、数学知识的确定性及其教育局限

　　数学知识具有确定性,其发展也是沿着确定性的道路进行的,但这种确定性是有限度的。超过了这个限度,将不利于数学教育价值的实现。

　　(一)数学知识的确定性及其表征

　　1.数学知识确定性的涵义

　　通常认为，在所有知识中，数学是最确定的。正因为如此，某门学科能否称为“科学”，关键就看其能否被数学化（即能否运用数学的方法来进行研究）。数学成了衡量其它学科能否成为科学的标准。比如，社会学之所以成为一门科学，就在于孔德（Comte,A.)将实证（其中最主要是运用了数学的手段）方法引入了社会学。那什么是数学知识的确定性呢？简而言之,数学知识的确定性是指数学的知识结论是精确的,而且这一结论是可信的。数学知识的确定性既指数学知识是精确的,也指数学知识是客观的，还指数学知识是永恒的、超越时空的。

　　2.数学知识确定性的表征

　　(1)数学知识确定性的历史追溯

　　数学知识自产生起,就沿着确定性的道路向前发展。柏拉图（Plato)将世界划分为在的世界和变的世界，数学属于在的世界，是不变的。在《理想国》第七卷中，他认为数学是科学，强调“科学的真正目的是纯粹为了……关于永恒事物的，而不是关于某种有时产生和灭亡的事物的……知识”欧几里得（Euclid,A.)的《几何原本》被当作是确定性数学知识的代表作,全书包括23条定义、五条公理和五条公设。欧几里得认为公设是适用于一切科学的真理，公理是几何学中的真理，它们都是确定无疑、无须证明的。

　　中世纪,人们认为数学知识是上帝预先设计好的、确定的客观真理。在《哲学原理》中，笛卡尔（Descartes,R.)认为要使哲学能够统一所有科学，必须要用数学方法（后来他将这称为“普遍数学”，“绝不接受我没有确定为真的东西”。这句名言更是诠释了他对数学确定性的追求。可以说,在20世纪以前，数学发展的历史就是追求数学确定性的历史。

　　(2)数学知识确定性的权威定位

　　历代的数学权威都认为，数学是不变的真理；甚至认为“自然法则就是数学规则”。柏拉图认为“只有从理想世界是数学知识来理解现实世界的实在性和可知性,无疑这个世界是数学化的”。在他看来,只有掌握了数学，才能理解这个世界。因此,在柏拉图学园门口处挂着这样一个标牌：“不懂几何学者免进”。他认为，只有精通几何,才能够学习其它学科。毕达哥拉斯派甚至提出“万物皆数”，将音乐、行星运动归结为数的关系,认为数是万物的代表,万物都可归结到数中。拉普拉斯（Laplace,P.S.)认为“如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力及所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动”，表明在他看来方程式可以表达并解释宇宙间所有运动，这句话也被当作追求确定性的最高描述，即拉普拉斯方程式。兰德尔（Randall,J.H.)在《现代思想的形成》中指出“科学起源于用数学解释自然界这种信念,而且在很久以前这个信念就为经验证实了”，从中可以看出数学是近代科学形成的前提。由此可知,从古希腊起,确定性数学知识在所有知识中占据权威的地位。

　　(3)数学知识确定性的价值澄明

　　数学知识确定性的表征还表现为，将确定性的数学知识应用到其它学科中去,取得了巨大成就。

　　首先,对确定性数学知识的追求促进天文学、物理学等自然学科的发展。如高斯（Gauss,K.F.)在24岁时运用数学知识观察小行星谷神星，并预言了这颗行星的轨迹。伽利略（Galileo,G.)运用数学知识来描述和解释自由落体规律,促进物理力学的发展。牛顿（Newton,I.)受伽利略影响,将数学作为描述自然定理的一个工具,如在解释万有引力时,摒弃物理原理而只用数学原理。在《自然哲学的数学原理》一书中，对天文学、物理学和数学等学科知识的证明或求解,也都采取完全数学化的过程，以大量的数学分析为基础，用微积分和几何学知识来解释说明物体运动和宇宙体系,促进了物理学、天文学学科的发展。

　　其次,对确定性数学知识的追求也促进了音乐、哲学、统计学等人文学科和社会学科的发展。公元前600年,毕达哥拉斯学派用数学方法研究琴弦震动，建立了关于音乐的理论。康德（Kant,I.)认为数学是先天的理性真理，对数学真理的追求促进其哲学思想体系的形成‘康德的问题是揭示数学如何能先天被知道,而又能以无可更改的确定性地应用于所有经验”。?统计学中定量研究要求对数据进行精确的计算和分析。建筑设计要求有精确的数字比例以达到完美的效果。

　　(二）确定性数学知识的局限

　　作为自然科学的基础,数学知识确实具有客观性、准确性和普遍性。追求确定性数学知识本身没有什么错,错在“唯确定性”，即人们过于强调其确定性,排除了其它的可能性。在教学中，如果过于强调数学知识的确定性,就会严重限制教师的教和学生的学，不利于学生全面自由的发展。

　　1.限制了教师教学的主体性

　　众所周知,教师是教学过程的重要主体之一。他之所以成为主体,并不仅仅是说他决定着教学进度、教学方法、教学评价等,而且还指他是知识的主体。即是说，当教师可以在课堂上用自己的方式讲述自己的知识时,他才是一个真正的主体。过度重视确定性数学知识,容易使教师形成这样一种教学观:数学教学向学生演绎、解释数学真理。对于数学知识而言，教师没有权力和能力去改变，甚至不能有一点不同于书本的理解。在这样的教学中，教师虽然讲述着数学知识，但却是以他人规定好的方式讲述他人的知识。他不但没有成为知识的主体,反而被知识奴役。这种教学对教师来说是痛苦的，因为他不能自主,没有激情和创造性,并由此陷入一种恶性循环：“学术生涯使他感到痛苦,他要把同样的痛苦加诸于学生一这是对自我本身深感困扰的痛苦”。这样,教师无法在教学中进行反思和建立自我感,最终使自己与教学分离。

　　2.窄化了数学教学的内容

　　由于数学本身被认为是确定性知识的典范，同时加上人们通常认为基础教育的主要任务是向学生传授基础知识（基础知识一般是指具有确定结论的知识），于是确定性的数学知识几乎成了数学教学的唯一内容,或者说不确定的数学知识仅仅是教学内容的点缀。

　　过度强调数学知识的确定性，限定了数学教学内容。一是将数学教学的内容限定为那些确定性的内容,不确定性的数学知识没有资格成为数学教学的内容,或者说所占比重非常小。二是教师在讲授确定性的内容时,不敢加以引申，仅仅局限于那个内容。不仅数学内容的范围被限制了，内容的深度也被限制了。在讲授数学知识时,教师认为数学答案就是唯一的，因此很少在课堂上与学生深度探讨数学问题。数学知识对于学生来说,就像是库存的展品，学生站在展品面前欣赏,但却无法触摸其真正的内涵，无法看到知识的多元意义。其实，对每个学生来说，“知识的现实意义是多元的、多样的、意义的，实现方式也是无限的”。

　　3.不利于学生创造力的培养

　　“创造力是一种产生新颖事物的能力，是一种解决问题的能力，是一种破除传统的能力。”培养学生的创造力是数学教育的重要目标。新数学课程标准指出：“数学教学活动,要引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维”。M确定性数学知识观,不仅无益于,反而会阻碍学生创造力的培养。

　　由于将数学知识当作是客观的、永恒的，因此人们不仅不敢质疑它，而且认为没有必要质疑它。然而“知识原本是他人对世界的一种看法，把知识当作绝对真理意味着承认他人看法的唯一合法性而否定了自己看法的必要性和合理性。”13教学过程中，过于强调数学知识的确定性,会导致学生被动地“接受”数学公式、定理与答案。因此方面学生不能形成数学批判思维能力；另一方面，学生思想被禁锢，不敢大胆想象,而批判与想象是创造的前提。正如杜威（Dew-ery,J.)所说“教育最大的错误在于认为一个人只学习他当时所学的特定事物”。

　　二、数学知识的不确定性及其价值

　　数学知识的确定性在19世纪出现了断裂，因为在这个世纪,人们发现数系、几何等知识都具有不确定性。数学知识不确定性的发现,对数学、对教育都具有重要意义。

　　(一)数学知识不确定性的涵义

　　数学知识的不确定性是指数学知识具有开放性和模糊性等特征。数学知识的开放性是指,数学知识并不是静止不变的，而是一个动态变化发展过程；它有可能被推翻。数学知识的模糊性是指数学结论本身具有不精确性,如概率论、模糊数学和灰色数学等,都具有模糊性。

　　数学发展到19世纪,就陷入自相矛盾的境地。数学知识不再是非此即彼的，而是亦此亦彼的。数学的发展也超越了其固有的逻辑路线，这从数系、函数和几何等板块的发展过程中可以看出。

　　在数系中，无理数、复数的出现,表明数具有不确定性。以前，整数、分数和小数是确定的数。毕达哥拉斯派认为线段的长度与它所对应的原子数目之间的比例是一一对应的，因此直角三角形的三边之比都应是整数比，_些例子也证明它的“正确性”，如3:4：5、：12:13、：15：17等直角三角形。然而后来毕达哥拉

　　斯学生发现当两直角边均为1时,斜边为槡,这样斜边既不是整数,也不是分数，在线段中无法找到一个具体的点,历史上将槡称作不可公度比。后来人们就将类似于在的数统称为无理数。

　　传统意义上，人们将函数定义为：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数,x叫做自变量。然而正切函数的出现,表明当x为90°时,y无限接近但永远不会等于一个值,y成为一个不确定的值。

　　几何学中，欧氏几何一直被当作是唯一正确的几何学，定理和公设是确定不移的真理,然而许多数学家却发现它并不是确定无疑的。例如在欧氏几何中三角形内角和等于180°,鲍耶（Bolyai,J.)和罗巴切夫斯基（Lobachevsky,N.I.)却证明三角形内角和小于180°,即双曲几何。同时黎曼（Giemann,G.B.)也得出结论:三角形内角和大于180°,即黎曼几何。双曲几何和黎曼几何（两者统称为非欧几何）的出现,表明三角形内角和等于180°并不是确定无疑的真理。

　　(二)数学知识不确定性的价值

　　1.为数学学科的繁荣提供了可能

　　正是由于数学知识本身的不确定性,促使数学不断发展。如欧氏几何第五公设（即平行公设）：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线无限延长后在这一侧相交。1826年，罗巴切夫斯基提出一条与之相反的公理:过平面上一已知直线外的一点至少可以引出两条直线与该已知直线不相交。1854年，黎曼有得出一个相反的命题:过直线外一点不能引出与该直线不相交的直线。因此,正是由于第五公设陈述上的模糊性促进非欧几何的出现。

　　再如18世纪以后,人们发现微积分也存在着逻辑上的局限性，如数学家也无法明确给极限和无穷小下定义。然而正是由于这一局限促使欧拉（Euler,L.)提出了不定积分和定积分的概念,柯西（Cauchy,A.L.)给出了极限、连续、导数、微分和积分等一系列微积分基本概念的严格定义。

　　2.为教师教学创造提供了空间

　　不确定数学知识观,使教师认识到数学知识具有相对性、条件性、主观性。教师在教学过程中，可以谈自己对数学的理解与认识,也可以结合自己或学生的经验来讲解数学知识。这样,教师就不再仅仅是数学知识的忠实实施者,而是数学知识的创造者,就容易实现自己、学生和数学知识真正相遇。数学课堂就变成一个开放的学习空间，每个人可以对某个数学问题发表自己的见解,师生可以围绕着某个不确定的、有待解决的数学问题,共同探讨数学真理,形成教师、学生和知识融于一体的学习共同体。数学教学也不再仅仅是教师将数学真理以“展品”的形式展现在学生的面前、控制课堂的过程，而是教师将数学知识融入自身价值观中，促使教学与自身融为一体,这样的数学教学才有可能是好的教学。

　　3.激发学生学习探究欲望

　　数学知识的不确定性使学生认识到世界上并不存在永恒的数学真理，不要盲信数学定理。于是,他们才有可能对数学产生怀疑,进而去探究;才会破除自己固有的僵硬思维,开拓学生的视野。学生在质疑数学、研究数学的过程中，会获得一种自信,认为知识是可以被自己改变的。

　　在陈景润读中学的时候,沈元老师给学生讲了一道困扰人们200多年的数学难题一哥德巴赫猜想，他恰当的引出数学界比喻“数学是自然科学皇后，‘哥德巴赫猜想’则是皇后王冠上的宝石”引起了陈景润的兴趣。虽然沈元老师也没有解出这道题,但他促使陈景润对这道题保持着好奇心，_直研究这道题,最终发表论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》,引起世界轰动。因此,有时不确定性的数学知识可以激发学生探究欲望,使学生获得自信。

　　三、不确定性数学知识价值的实现策略

　　如上所述,数学知识的不确定性具有重要的教育价值。那么在实际教育中如何实现这些价值值得我们去研究。

　　(一)突出确定性知识成立的条件

　　强调数学知识的不确定性,并不是说在教学中不教确定性的数学知识,而是说要换一种思维去教授确定性知识。其实，任何数学知识要正确，都是有条件的。在教学过程中，教师要强调数学知识确定性成立的前提和条件。某个知识正确，只是在某个特定条件下正确；若超出了这个条件,其正确性就受到了挑战。首先,在课堂上教师要告诉学生数学定理的成立是需要条件的。如在初中讲数的平方这一规律时定要告诉学生只有在实数范围内，一个数的平方才是正数。其次,告诉学生即使现在这些数学知识是准确的、唯一的，也不代表它就永恒不变。在教学中，可以适当增加数学史的知识,告诉学生这些知识后来引起的争议,使学生能够用动态的眼光看待数学知识。

　　(二）适当增加课程内容的不确定性

　　多尔（Doll,.)认为“课程应具有‘适量’的不确定性、异常性、无效性、模糊性”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出课程基本理念“课程内容的呈现应注意层次性和多样性。”M因此，国家和地方在制定教材时，以及教师在教学时,要适当地多增加一些不确定性的、有争议的、能引起学生认知冲突的数学知识^“编制课程大纲或教学计划应该采用一种一般的、宽松的、多少带有一定的不确定的方式”。M如在教学不同学段，可适当增加不等式、不定方程、负数、估算、统计与概率、无理数等不确定数学知识的比例，引导学生用“亦此亦彼”的思维模式去思考问题。国外的某些做法值得借鉴。如在我国老

　　师教授时（-8)+,老师告诉我们将它看作是-8的开立方，因此结果为-2。而在国外,老师认为这题有3种不同的结果3“第一种方法与我国解法是相同的，将（-8)+看作是-8的开立方，因而结果为-2。第二种将^当作是I,于是(-8)+=(-8)+=槡(-8)=^=2。第三种观点认为（-8)^是说不清的，因为每个人可以有自己不同的解法”。这样,学生在计算负数的指数时,答案是不确定的。

　　(三）注重数学教学的开放性

　　开放性教学在教学中发挥着重要的作甩“开放性教学是为学生提供一个发现和创新的环境和机会,为教师提供一个培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。”19因此，教师的教学应具有开放性。这里的开放性,首先是指教师在教授数学时,不一定非得将结论教给学生;其次,要注重选择一些没有确定答案的数学内容;再次,要选择一些条件并不是十分明朗的数学问题让学生思考;最后，还可以创造一些只有部分条件的问题，让学生补充相关条件,并提出问题。如小学低年级可以设计这样的题型:羊圈里有8只羊?这样每个学生补充的条件不同，最终得出的结果也就不一样。同时,教师可以自己结合生活经验进行教学，重视数学经验在教学中的作用，培养学生直觉思维和求异思维能力。如在课堂上让小学生设计如何测量土豆的体积,不同学生有不同测量方法，一个学生也可以有多种方法；让学生自己描述回家路线图，这样题目就与学生实际生活联系，且每个人回家路线的不同,得到的答案必然不同。

　　(四）注重评价方式个性化

　　既然数学知识具有不确定性,那么对学生的评价就不能局限于统一的标准。要在评价中突出学生的主体地位,注重学生数学学习的个别差异性“新评定走出了甄别的误区，评定尊重学生的个别差异和个性特点，问题要求具有相当的开放性,允许学生依据自己的兴趣和特长作出不同形式和内容的解答。”M只有根据每个学生实际情况进行评价,才能够发现每个学生数学学习的差异性,才能够因材施教,也才能引导学生对数学充满怀疑,才有利于学生发散思维的形成与发展。

　　《素质教育在美国》一书中作者讲到在一次数学对数测试中，美国一个学生矿矿在考试时,在对数这一题上画了一只咬原木的河狸,手中拿着一块木头（在英语中Log除了表示对数,还可以表示原木），并写上“Logsarefun!”(木头真有趣味）。矿矿试卷本身得了100分,老师又给试卷上的画“原木和河狸”加了0.2分,这0.2分表明老师对矿矿数理逻辑、形象思维和自信心的充分肯定。这位教师把学生当作独特的个体,这种评价更具有指导性作用，激励学生“探究”数学而不是“学习”数学。