关于近世代数教学改革的几点心得

　　DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.14.258

　　0 引言

　　近世代数是一门抽象的理论学科，该课程理论偏多，具有高度的抽象性，因为其抽象的特点，所以它的理论就更具有广泛性，很多学科都或多或少地用到近世代数的相关理论。各个高校都开设了这门课程，专家、学者对这门课的关注度也越来越高。近几年来通过对这门课的教学，颇有心得，对其教学的改革总结几点以共勉。

　　1 建立良好的师生关系、构建和谐的课堂氛围

　　良好的师生关系是师生之间可畅通无阻地沟通与交流的前提，活跃的课堂气氛可吸引学生的听课注意力，激发学生的学习兴趣。老师应主动的多与学生接触和交流，构建和谐的课堂气氛，老师和学生之间的交流和互动可使学生觉得老师既是长辈又是朋友，这无形中使学生和老师的关系变得非常密切和融洽，使得师生之间无话不谈。

　　2 应注重基本概念的教学

　　有些概念虽然字面意思很好理解，但它的应用很灵活，因此一定要理解透概念才能灵活应用，比如映射这个基本概念，在映射的基础上给代数运算下了定义，在代数运算的基础上给群下了定义，再推广到环和域上，从而形成了一系列的代数系统。另外，在映射的基础上给同态映射、同态满射和同构映射下了定义。映射可以比较两个集合的元素个数，同态映射、同态满射和同构映射可以把已知代数系统的信息反映到未知的代数系统上去，同态映射、同态满射和同构映射是比较代数系统之间的性质的有力工具。

　　3 问题型教学模式

　　问题型教学模式分几步：提问--分析--举例--回归问题--总结结论。比如这样一个问题：一个集合和它的真子集之间会有双射存在吗？和同学们一起回顾集合、真子集、和双射的概念，分析双射应具备的必备条件，引导他们广义思考。 集合分有限集和无限集，真子集不会是集合本身，建立双射的两个集合元素个数必须相等。举例：整数集和偶数集之间的映射是一个双射，偶数集是整数集的一个真子集，它们都是无限集。这时候再结合问题和问题中的题设比较，同学们自己会总结出结论：会有双射存在。

　　4 换位教学法

　　由于任务重，课时少，很少有时间让学生自己讲，但是对于一些简单的感觉学生能驾驭的内容，适当的让学生自己去讲。角色转换不仅加深学生对所学知识的理解，还可以培养和锻炼学生的独立思考能力、科研能力和表达能力。受益的并非实施教学的一位学生，他的学习和教学也带动了其他学生。换位教学中教师既要选好内容又要选好学生，也要在教学中适当指导，保护学生的心理安全，使教学顺利进行并达到预期的教学效果。比如在讲到环的同态和同构时，前面已经讲过代数系统的同态和同构，群的同态和同构，可以适当的让学生比较群和环的区别和联系，然后总结出环的同态和同构。学生自己完全能掌控，因此可以交给学生来讲。

　　5 加强和其它学科之间的联系

　　把近世代数和中学数学、高等代数等已经学习过的学科联系起来，这样就能把抽象的问题具体化了，学生能结合具体的问题把近世代数中抽象的概念理解透彻。而且还能调动学生的学习积极性和趣味性。比如集合中的元素满足结合律时有这样的一个结论：若集合的代数运算满足结合律，则中任意（）个元素无论怎样加括号进行运算，其结果都相同。这一结论不仅在中学数学中，而且在高等代数或其他课程中都未证明过，都一直在用，现在在近世代数中一并解决了。

　　近世代数的一些思想也可以通过具体的几何图形进行直观的解释。例：求正方形的对称变换群。如图1可知，正方形的对称变换只有两种：（1）分别绕中心点O按逆时针方向旋转、、、的旋转；（2）关于直线、、、的镜面反射。用置换表示正方形的对称变换。置换表示对称变换绕中心旋转；置换表示对称变换绕中心旋转；置换表示对称变换绕中心旋转；置换表示对称变换绕中心旋转；置换表示对称变换关于的反射；置换表示对称变换关于的反射；置换（24）表示对称变换关于的反射；置换（13）表示对称变换关于的反射；正方形的对称变换群是的一个子群，记为。则=8。

　　6 做到适时提问

　　在适当的时候提问学生即能提高学生的注意力，又能带领学生回顾已学过的知识，又能提高学生的发散性思维。从而，还能得到新的结论。比如在讲到和同态，若是一个群，是一个具有代数运算的代数系统，则也是一个群时，引导学生思考如下的问题：（1）如果不是满射，结论成立吗？（2）原有条件不变，如果是群，是一个具有代数运算的代数系统，则是群吗？（3）如果条件中和同态换成和同构，会有什么样的结论成立呢？（4）引导学生要验证一个集合对于所给的代数运算是否构成群，可以找一个已知的辅助群，通过同态来实现。学生思考以后老师引导他们通过实例或理论逐一解答，这样的效果比老师在讲台上滔滔不绝的讲解要好的多。

　　在教学中充分把握上述几点，切实应用到教学当中去，在近几年的教学中学生的学习积极性提高了，讨论近世代数问题的也相继增加了，从作业和试卷上来看，学生独立思考问题的能力有所提高，不再是照抄照搬、死记硬背，有了自己的见解和观点，学生考试成绩明显提高，不及格率由原来的20%左右提高到8%左右，通过这种尝试效果明显，值得和从事近世代数教学的老师共勉。

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