反例在泛函分析教学中的应用

　　Abstract： Counter example is important in functional analysis teaching. Through studying on the counter example of typical problem in functional analysis， it shows that the appropriate application and construction of counter example is favor of the improvement of teaching quality and further deepens students' understanding of concept， theorem and formula， cultivates students' structural thought and innovation ability， and improves students' ability in analyzing and solving problem.

　　Key words： functional analysis；counter example；application；teaching quatity；structural thought

　　中图分类号：G40 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）10-0252-02

　　0 引言

　　泛函分析是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数、算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析[1]。

　　作为一门分析数学课程，泛函分析中的概念、定理等理论知识相当丰富，知识的连贯性和逻辑性都很强，可以说是所有数学课中最抽象的课程，因此在教学中让学生深刻理解概念的内涵与外延，对提高教学质量具有非常重要的意义。数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德曾指出“数学有两大类―证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标―提出证明和构造反例”。

　　反例对巩固和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。

　　在教学中充分应用反例揭示概念之间的内在关系，能增强学生对定理、性质的理解掌握，从而使教学达到事半功倍的效果，本文从下列几个方面来举例说明反例在泛函分析教学中的应用。

　　1 利用反例，能使学生加深对基本概念、定理的理解

　　泛函分析中概念是高度抽象的，但它又是理论和方法的基础，只有准确地理解和把握概念的内涵，掌握概念的本质，才有可能正确掌握相关基本知识，若只要求学生记住定义，其结果往往是使学生不知其所以然，在运用中往往会出现这样或那样的错误。

　　在概念教学中，虽然正面的例子可起到了解、熟悉新概念的作用，而反例则可加深对新概念的理解。若能适当举出反例，往往能够消除一些容易出现的模糊认识，从另一个侧面抓住概念或规则的本质，让学生严格区分那些相近易混的概念，把握概念的要素和本质，澄清一些模糊认识，从而加深学生对知识的理解，这将会取得事半功倍的效果。

　　例如，在度量空间中，自列紧集必为有界闭集[2]。这个问题中涉及两个很重要的概念：自列紧集和闭集，同学们都能熟练地背诵它们的定义，但是有界闭集并不都是列紧得度量空间，例如：设B是空间l2中的单位球：B={x：d（0，x）？燮1}，则B是空间l2中的一个有界闭集，取B中的点：en=（0，…，0，1，0，…），n=1，2，…，因d（en，em）=■，（n≠m），故B不列紧。这样通过例子，学生就能更好的理解“自列紧集”的涵义。

　　2 利用反例，能使学生准确把握概念间的关系

　　在度量空间中，有界性，全有界性和列紧性是三个容易混淆的概念，许多学生对这几个个概念的理解不够深刻，错误地认为有界一定全有界或者全有界一定列紧，这时老师就可以通过下面的例子来说明有界未必全有界、全有界也未必列紧。

　　例1 存在有界而非全有界的集合。在空间l2中取点列en=（0，…，0，1，0，…），n=1，2，…，因d（en，0）=1，故因M={en}■■是l2中的有界集，但是，对于？着=■而言，M不存在有穷？着网，故M不是全有界的。学生都能理解全有界必定是有界的，上述反例表明此陈述的逆并不成立。

　　例2 存在全有界而不列紧的集合。设X为区间[0，1]中的有理数全体，在X上取通常的距离，则X为一不完备的度量空间，对任意？着>0，取正整数n使n？着>1，则集0，■，…，■，1为X的一个有穷？着网，故X是全有界的。然而x并不列紧，因为若取xn=■1+■■∈X，n=1，2，…，则{xn}中不存在收敛于X中某个元素的子列。此例是在不完备的度量空间上构造的，因为由Hausdorff定理：在完备度量空间内，列紧性与全有界性是等价的，所以在任何完备的度量空间内就不可能做出这种反例。

　　3 利用反例，能使学生明确定理条件的严密性

　　在泛函分析的定理教学中，正确地应用反例，能使学生分清定理中条件的充分性和必要性，进而全面地理解定理的条件与结论，更好地应用定理解决问题[3]。泛函分析中三个非常重要的定理为：开映射定理、闭图象定理和延拓定理。在讲解定理时，必须使学生注意定理条件，理解和掌握定理实质，为推理论证过程中正确使用定理打下良好基础。利用反例往往可以有效地达到这个目的。 　　例如，对于开映射定理：设T为Banach空间X到一第二纲赋范线性空间Y上的连续线性算子，那么T必将X中的开集映为Y中的开集。应当在讲述定理时强调当X不是Banach空间或Y不是第二纲赋范线性空间时，开映射定理未必成立。

　　例3 （1）空间X不完备的情形。设Y为任一无穷维Banach空间，H={h？琢}是Y的Hamel基，假设H中的元素的范数均为1，对任一y∈Y，y可唯一表成：y=■aihi，在Y上取另一范数‖y‖1=■ai，记此空间为X，则X不完备。设T为X到Y上的恒等算子，则T连续而T-1不连续，因此，T并不把X中的开集映为Y中的开集。

　　（2）空间Y不是第二纲的情形。设X=l，‖x‖=■？孜■，Y=l，‖x‖=■？孜■，其中x={？孜■}∈l，则Y不是第二纲的赋范线性空间，对x={？孜■}∈X，令Tx=x，则由关系式

　　‖Tx‖Y=■？孜■？燮■？孜■=‖X‖x

　　可知，T为由X到Y上的一对一的有界线性算子。但是，逆算子T-1并不连续，因此，T并不把X中的开集映为Y中的开集。

　　这样通过反例来强调对定理条件的重视比靠简单地采取重复叙述来强调，相信效果会好许多，而且可以化抽象为具体，使学生能够深入浅出地理解定理的基本思想。

　　4 利用反例，能使提高学生分析问题和解决问题的能力

　　在教学过程中，除了我们应用反例教学之外，还应善于引导学生构造反例。构造反例不是一项简单的工作，它没有明朗清晰的思维途径，构造反例的前提是学生必须对所学的定义、定理、性质有清楚的理解，并且需要更高的数学素养和勇于创新的能力[4]。

　　由于很多反例的构造并不唯一，这就从另一方面给学生提供了培养创新能力的多种途径，反例的运用可以强化推理的严谨性，培养思维的批判性，发展逆向思维和发散思维，全面提高解题能力，经常的情况是举一个反例比找一个证明更需要想象力和创造性，举反例的过程就是使学生的数学能力逐步提高的过程。

　　从而有效提高教学质量[5]。

　　例4 举例说明，在压缩映射原理中，空间的完备性条件不可少。

　　分析：我们非常清楚压缩映射原理的内容：完备度量空间上的压缩映射存在唯一不动点。而不动点的存在性来自于度量空间的完备性，所以可以举一个例子，满足：度量空间不完备，其上定义的压缩映射不存在唯一的不动点。

　　设X为区间[0，1]中的无理数全体，令d（x，y）=x-y，x，y∈X，则（X，d）为一不完备度量空间，定义映射Tx=■，x∈X，则d（Tx，Ty）=■，故T 是X到自身的压缩映射，但Tx=■的解0？埸X，即T不存在唯一的不动点x0∈X。

　　例5 举例说明存在有界线性算子，其逆算子无界；存在无界线性算子，其逆算子有界。

　　设X=Y=C[0，1]，Tx（t）=■x（s）ds，（0？燮t？燮1），则T为由X到Y内的有界线性算子，但逆算子T-1y=■y（t）是定义在C1[0，1]？奂Y上的无界线性算子。

　　设X=l，‖x‖=■？孜■，Y=l，‖x‖=■？孜■，其中x={？孜■}∈l，令Tx=x，则T为由X到Y上的一对一的线性算子。其逆算子T-1满足不等式：‖T-1x‖=■？孜■？燮‖x‖，因此T-1是有界的。另一方面，取xn=（1，1，…，1，0，0，…）∈X，则‖xn‖=1，而‖Txn‖=n，可见T是无界的。

　　泛函分析是一门极其严密的科学，它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系[6]，在学习中，让学生掌握严密的逻辑推理的同时，应该鼓励学生多去举反例，这才能更深刻掌握基本理论知识，多层面多角度观察思考问题，提高其数学修养与培养科学研究能力。

　　但在教学中，举反例重在说明结构、辩清是非，将其最为教学的辅助手段，反例既要易懂又要能够说明问题，使学生对教学内容有个较为直观的认识，这不仅能提高教学质量，收到良好教学效果，而且也可以培养学生逐步形成正确的分析思维观念和思维方式。

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