浅谈帕斯卡概率逻辑的批判性反思

摘要]针对帕斯卡概率逻辑的哲学探讨存在的局限性，文章试图从语形方面对经典概率演算系统进行修改或否定来研究概率逻辑。一些学者认为初始概率可以不满足概率演算，从而催生了一些非科尔莫哥洛夫概率理论。实际上，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的变异，或者从某种意义上说，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的发展。
[关键词]帕斯卡概率逻辑；概率解释；非科尔莫哥洛夫概率理论
　
　　
　　帕斯卡概率逻辑的哲学探讨到目前为止已经取得了不少的进展和突破，尤其是最近几十年来才发展起来的性向(propensity)解释和主体交互(in-tersubjective)解释。不过，尽管帕斯卡概率解释发展到今天已经取得了很大的成就，但这并不表示它们已经发展到了顶点。相反，帕斯卡概率的各种解释还存在着一定的局限性或者遇到了一些困难。于是，出于长足推进我国归纳逻辑发展的需要，总结和反思帕斯卡概率逻辑哲学研究的现状，瞻望归纳逻辑发展的更高形态就是必要的和重要的了。
　　
　　一、各种概率解释的局限性
　　
　　概率理论是由帕斯卡开创，并且由科尔莫哥洛夫实现公理化的经典概率演算系统。这种理论主要是作为数学概率论而发展起来的，但人们是在最广泛的意义上使用概率概念的，对概率的解释不同，也就产生了各自有别的测定概率值的方法，由此便导致了不同类型的概率逻辑系统。于是帕斯卡概率便出现了以下几种主要的解释：逻辑解释、主观解释、频率解释、性向解释以及主体交互解释。这些概率解释都具有一定的恰当性和可应用性，但同时它们又不可避免地存在一定的局限性。具体地说：
　　在逻辑解释中，凯恩斯与卡尔纳普都采用了无差别原则作为逻辑原则。但无差别原则毫无疑问会导致悖论，例如，关于书的悖论、酒—水悖论和几何学概率的悖论。虽然对一些这样的悖论有独特的解决方法，但是没有任何普遍的方法把它们都消除掉。任何使用无差别原则的人从来都不能肯定它是否和什么时候将出现矛盾。因此，唯一安全的策略就是完全地抛弃这个原则，并且这样做意味着放弃逻辑解释——至少放弃它的传统形式。
　　在信息不充分的情况下，主观解释是比较适用的，因而它极大地拓宽了概率论的应用范围，使得人们的意见、判断、评价、信念等主观的东西都可以通过信念度来测量。例如1999年春夏之际，北约对南联盟进行空中打击，狂轰乱炸，久攻不下。当时人们纷纷猜测北约会不会向南联盟派遣地面部队，这种事情发生的可能性究竟有多大?我们就可以用主观信念度来表示“北约向南联盟派遣地面部队”这一事件的概率。但是，由于主观解释允许具有同样证据的不同主体对同一假说可以合理地赋予不同的概率，从而使得人们在确定初始概率或先验概率上具有相当大的主观任意性。拉姆齐认为，除了满足概率公理之外，没有什么可以唯一地确定先验概率或初始概率。主观标准的随意性遭受到了许多的批评，对于这一困难，德·芬内蒂提出了著名的“意见收敛定理”加以保证。但由于意见收敛定理必须满足的前提即所讨论事件的可换性也遭到了许多批评，这就使得人们用主观概率来表达客观概率的期望成为泡影。因而，主观主义者们绕了一个大弯又回到了起点，即对基本概率的确定是主观任意的，唯一的限制是满足概率公理。
　　由于频率解释把概率定义为事件在无穷序列中的相对频率的极限，因而这种解释在科学确证的过程中遇到了许多困难。例如，对于单个事件，如何确定它的概率；对于休谟问题，又是如何解决的。而性向解释(主要指长趋势性向解释)在一系列问题上明显优越于频率解释：性向解释是一种关于概念创新的非操作主义理论，这种非操作主义理论在自然科学中解释概念创新比冯·米瑟斯的操作主义更好；性向解释消除了关于无限聚合的所有问题，并且通过为概率陈述引入一种可证伪规则，这个规则对概率与十分适合标准统计实践的频率之间的关系给出了一种解释；性向解释通过把随机和独立归约为独立的排除了冯·米瑟斯对这两个不同概念的介绍；性向解释通过把概率与可重复的条件而不是聚合联结起来容许演算的更广泛应用；性向解释更符合科尔莫哥洛夫公理和对概率使用测度理论的现代数学方法，因为它容许概率作为一种未被定义的概念被引入；等等。就所有这些观点来说，我们认为性向解释已经替代了频率解释并且是当前可利用的有效的客观解释。然而，人们对性向概念的理解远不止这些，并且随着科学的发展而发展，同时又不可避免地存在各种各样的异议和含糊。
　　主体交互解释把概率看作是关于一个群体的共同信念度。被用来介绍主体交互概率的荷兰赌论证表明，如果这个群体同意一个共同的赌商，那么这个共同的赌商就会保护他们不被狡猾的对手打输。荷兰赌论证向群体的扩展仅仅对具有共同旨趣的群体有意义。这表明了这样的群体应该在其内部建立交流和信息流，使得他们通过讨论能够形成一致意见或主体交互概率。只有通过这种方式整个群体才能保护自己不输给狡猾的对手。但是，主体交互解释也不可避免地存在着一些问题，例如它只适用于具有共同旨趣的社会群体，而对一个缺乏共同旨趣的群体没有有效性，因为每个个体都将不关心这个群体的其他成员发生什么事情，因而每个个体将形成他或她自己的主观概率而不考虑其他人的信念；主体交互概率概念对宗教流派、政治党派等社会群体来说是合适的概念，但他们通常没有达到包含全体人类。
　　以上是我们对符合经典概率演算的各种解释的分析和论述。很显然，主观解释、主体交互解释以及性向解释是当前可利用的比较有效的概率解释，它们都具有一定的恰当性和可应用性，但同时它们又不可避免地存在着一定的局限性。因此，一些学者试图从语形方面对经典概率演算系统进行修改或否定来研究概率逻辑。　　二、非科尔莫哥洛夫概率理论
　　
　　在主观解释中，贝叶斯主义者支持的更新规则是条件化：pr更新(a)=pr初始(aie)(只须pr初始)。后来，刘易斯(lewis)对条件化给出了一个“历时的”荷兰赌论证。杰弗里(jeffrey)条件化的规则或概率运动学将按照下式把主体的更新概率函数与初始概率函数联系起来：pr更新(a)=∑pr初始(aie)pr更新(ei)。正统贝叶斯主义可以用下列原则刻画：(1)理性主体的“先验”(初始)概率符合概率演算；(2)理性主体的概率借助(杰弗里)条件化规则来更新；(3)对理性主体没有任何进一步的约束。
　　但是正统贝叶斯主义遭到了他们的批评，说它的要求过分了：它对所有命题、逻辑全知者等等指派精确概率的要求一直被有些人看作是不合情理的理想化。这就导致了对上述原则(1)和(2)的各种放宽。原则(2)可以被弱化以容许除条件化之外的概率更新的其他规则——例如，jaynes和斯基尔姆(skyrms)认为在相关限制的条件下，对使熵极大化的概率函数加以修改。而一些贝叶斯主义者例如厄尔曼(earman)则放弃了概率更新完全是由规则支配的要求。对原则(1)的放宽是一个大论题，它催生了一些非科尔莫哥洛夫概率理论。下面我们将简要地介绍一些这样的系统，并指出它们与各种逻辑之间的联系。
　　抛弃西格马域子结构科尔莫哥洛夫把ω子集的一个非空聚合f称为ω上的一个西格马域，当且仅当，f在取余运算和可数的组合之下闭合。法恩(fine)在他的《概率论》(1973)论证说，概率函数的域应该是西格马域的要求是过分地限制的。例如，人们可能拥有对于种族和性别的达成共识的有穷材料，这些材料给出了关于一个随机选定的人是男人的概率pr(m)和这个人是黑的的概率pr(b)充分的信息，而没有给出关于这个人既是男人又是黑人的概率pr(m∩b)的任何信息。因此他认为，应该抛弃西格马子结构，使概率函数的域不用限制于西格马域。
　　抛弃精确概率每一个科尔莫哥洛夫概率都是一个单独的数字。但是，假定一个主体的意见状态并不决定单独的概率函数，而是与这些函数的积相一致。在这种情况下，人们可以把该主体的意见表达为所有这些函数的集合；并且这个集合的每一函数都合法地对应于一种确定主体意见的方法，这种方法通常与区间值概率指派相吻合，但并非一定如此。例如，杰弗里在他的《概率与判断的艺术》(1992)和莱维(levi)在他的《知识的冒险精神》(1980)中都持这一观点。库普曼在他的《概率基础》(1980)提出了关于可能会被认为是这种区间终点的“上界”和“下界”概率的公理。沃利在《关于不精确概率的统计推理》(1991)一书中也提出了对不精确概率的扩展研究。
　　完全抛弃数字概率与迄今为止所假定的“定量的”概率相对照，法恩在他的《概率论》中倾向于深入探讨各种比较概率的理论，他通过形如“a至少像b那样概然(a≥b)”的陈述来举例说明这种概率。他提出了支配着“≥”的公理，并探讨了比较概率能够以科尔莫哥洛夫概率表达的条件。

否定的概率和复数值概率迪拉克(dirac)、威格纳(wigner)以及范曼(feynman)等物理学家更激进地主张否定的概率。例如，范曼建议说，在一维标尺中粒子的漫射具有一个存在于给定位置和时间的概率，这个概率是由取否定值的一个量值给定的。然而，由于是取决于如何对概率作出解释，人们实际上是想说，这种函数与概率函数有某种相似性，但是当它取否定值时，这种相似性就被没有了。考克斯(cox)在他的连续时间具有离散状态的随机过程理论中容许概率在复数中取值。缪肯汉姆(mückenheim)在他的《对扩展概率的回顾》(1986)一书中也持同样的看法。

抛弃正规化公理科尔莫哥洛夫的概率函数可以取的最大值是1，看起来是约定俗成的。然而，它具有一些非平凡的推理。与其他公理相配套，它确保概率函数至少取两个不同的值，并且概率函数存在着一个最大值是非平凡的。实际上，雷伊(re-nyi)在他的《概率的基础》(1967)中完全抛弃了正规化假定，允许概率取“∞”值。还有一些作者放松了经典逻辑对概率的限制，容许逻辑的或必然的真理被指派小于1的概率——也许是因为他们认为逻辑的或数学的猜想可以或多或少充分地被确证。此外，科尔莫哥洛夫公理2涉及了经典逻辑隐含地假定的“重言式”概念。相反，非经典逻辑的拥护者也许想用他们青睐的“重言式”的“异常”概念(也许需要在公理化时在别的地方作相应的调整)。因此，构造主义者主张概率论建立在直觉主义逻辑的基础之上。
　　无穷概率科尔莫哥洛夫概率函数取实数值。许多哲学家，例如刘易斯和斯基尔姆等取消了这个假设，容许概率从分析的一个非标准模型的实数中取值。尤其是，他们容许概率是无穷的：正数但又小于每一(标准)实数。按照标准概率论，在无穷概率空间中的各种非空命题通常都会得到0概率，而这样一来，这些命题被指派正的概率实质上就会被认为是不可能的(考虑随机地选择来自[0，1]区间的一个点)。而在不可数空间里，正则概率函数不可避免要取无穷值。
　　抛弃可数可加性科尔莫哥洛夫最有争议的公理无疑就是连续性公理——例如，可数可加性的“无穷部分”也就是如此。他把它看作是使数学精致的一种理想化，而没有任何经验意义。德·芬内蒂在他的《概率、归纳与统计》(1972)一书中列举了一组反驳这种观点的论证。其中一个具有代表性的论证是：可数可加性要求人们对事件的不可数划分指派极端有偏的分布。实际上，对于任何δ＞0，无论多么小，都将存在着有穷数量的事件，这些事件具有至少1-δ组合概率，从而使所有的概率拥有最大的份额。
　　抛弃有限可加性人们甚至提出了放弃有限可加性的各种概率论(所谓非可加性概率理论)。登普斯特－谢弗(dempster-shafer)理论按照下列规则定义一个信念函数bel(a)：对于ω的每一个子集a，bel(a)就是a的子集的数之和。谢弗在《结构概率》(1981)中给出了这样的解释，假定主体将发现ω上的某一命题，那么bel(a)就是主体将发现a的信念度。bel(a)+bel(-a)不一定等于1；实际上bel(a)和bel(-a)从函数角度看是相互独立的，信念函数有许多与库普曼的下界概率相同的形式性质。蒙金(mongin)在《认知逻辑与非可加性概率理论间的一些联系》(1994)中表明，认知模态逻辑与登普斯特－谢弗理论之间有着重要的联系。　　所谓“培根式概率”表示另一种背离概率演算的非可加性概率。一个合取式的培根式概率等于这个合取支概率的最小值。这种“概率”在形式上类似于模糊逻辑的隶属函数。科恩在《可几的与可证的》(1977)中认为它们对于测度归纳支持和评价法庭证据是恰当的。
　　其他学者如杰拉答托(ghirardato)的含混背离模型、沙克尔的潜在惊奇函数、杜波依斯(dubois)和普拉德(prade)的弗晰(fuzzy)概率理论、施梅德勒(schmeidler)和韦克尔(wakker)分别提出的期望效用理论以及斯庞(spohn)的非概率信念函数理论有助于我们进一步了解非可加性概率理论。而在杰拉答托的《不确定性的非可加性测度》(1993)和豪森《概率论》(1995)中有更多的讨论。
　　
　　三、对非科尔莫哥洛夫概率理论的评析
　　
　　如上所述，虽然符合经典概率演算系统的概率逻辑(即帕斯卡概率逻辑)就其本身来说是正确的，但它的效力还不够大，于是人们自然期望对帕斯卡概率逻辑放松限制，这就导致了非科尔莫哥洛夫概率理论的出现。由于非科尔莫哥洛夫概率理论抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，许多学者因而放弃了对科尔莫哥洛夫概率演算作出恰当解释的追求。根据哈克的观点，“如果一个系统与另一个系统有着共同的词汇，但却有一个不同的定理／有效推理的集合，那么，这个系统就是对第一个系统的偏离；一种异常逻辑就是一个偏离了经典逻辑的系统”。陈波也认为，“变异逻辑就是由否定或修改经典逻辑的一个或多个假定而导致的系统，它们至少在某些定理上与经典逻辑不一致”。非科尔莫哥洛夫概率理论由于对经典概率演算系统的公设或公理进行了修改或放松了限制，因而是一种异常逻辑。
　　具体地说，非科尔莫哥洛夫概率理论放松了帕斯卡概率逻辑对概率赋值与概率函数的限制或者否定了经典概率演算系统的某些部分。主要表现在：第一，经典概率演算系统只允许基本概率在[0，1]区间取值，而非科尔莫哥洛夫概率理论使概率的取值范围扩大了，例如，他们认为概率值可以取否定和复数值，或者他们允许概率是无穷的；第二，他们认为经典概率演算的某些部分是不可接受的，因而他们抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，比如抛弃西格马子结构、抛弃精确概率、完全抛弃数学概率、抛弃正规化公理和抛弃可数可加性；第三，由于抛弃了科尔莫哥洛夫概率演算的有限可加性，因而经典概率演算系统中的正则性、明确性和有限可加性不再成立。科尔莫哥洛夫概率系统与非科尔莫哥洛夫概率理论的关系类似于经典逻辑与相干逻辑或直觉主义逻辑的关系：因此可推断出，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的变异。
　　我们可以通过对沙克尔的潜在惊奇理论和柯恩的归纳支持和归纳概率分级句法理论的分析来说明非科尔莫哥洛夫概率理论是一种异常逻辑。沙克尔首先认识到：对于人文系统中的不确定试验，一般来说不可能事先构造样本空间ω，于是他提出了第一个非帕斯卡概率理论——潜在惊奇理论来描述非分布式不确定性——即当事人不可能事先构造ω时所面临的不确定性。潜在惊奇理论是度量x关于某一假说的潜在惊奇值和潜在惊奇值运算规则的理论。因此，它是非帕斯卡概率的主观主义解释。潜在惊奇理论具有一系列不同于帕斯卡概率的特征：(1)非分布式不确定性度量定义在不完全样本空间上；(2)在该样本空间中不存在必然事件；(3)任一属于该样本空间的事件h不发生时，～h并不必然发生，即帕斯卡概率论的互补律在此不成立。由于沙克尔的潜在惊奇理论否定了帕斯卡概率论的互补律，因而这一理论可以被看作是一种异常逻辑。
　　柯恩在对培根和穆勒的排除归纳法研究的基础上，独立地提出第二个非帕斯卡概率理论——归纳支持和归纳概率分级句法理论。柯恩继承了培根思想中的恰当性方面并且扬弃了卡尔纳普归纳逻辑不恰当的方面，柯恩归纳逻辑的主要特点是强调归纳逻辑与自然科学和社会生活实际的紧密联系，即注重归纳逻辑的恰当性和可应用性。他认为，归纳逻辑的形式系统应与不完全理论系统相协调。因而，他以否定的非互补律取代了否定的互补律；在柯恩的系统中，排中律不成立；关于事实问题的非帕斯卡概率不具有可加性，而只能分等级；考虑到科学实际中假说h不能作为证据，他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。显然，所有这些表明了柯恩的归纳逻辑是一种异常逻辑。柯恩系统在法庭证明领域、科学方法论的接受理论领域、科学说明领域、性向领域以及语法理论领域都能应用，因此表明了比经典概率演算系统具有更大的可行性。
　　总而言之，从某种意义上说，非科尔莫哥洛夫概率理论实际上是帕斯卡概率逻辑的发展，因为非科尔莫哥洛夫概率理论是一些学者在帕斯卡概率的各种解释遇到这样那样困难的情况下提出来的。非科尔莫哥洛夫概率理论与经典概率演算系统之间虽然是竞争的，但它们可以同时存在，因为它们的支持者从他们各自不同的立场出发研究概率逻辑。

否定的概率和复数值概率迪拉克(dirac)、威格纳(wigner)以及范曼(feynman)等物理学家更激进地主张否定的概率。例如，范曼建议说，在一维标尺中粒子的漫射具有一个存在于给定位置和时间的概率，这个概率是由取否定值的一个量值给定的。然而，由于是取决于如何对概率作出解释，人们实际上是想说，这种函数与概率函数有某种相似性，但是当它取否定值时，这种相似性就被没有了。考克斯(cox)在他的连续时间具有离散状态的随机过程理论中容许概率在复数中取值。缪肯汉姆(mückenheim)在他的《对扩展概率的回顾》(1986)一书中也持同样的看法。

抛弃正规化公理科尔莫哥洛夫的概率函数可以取的最大值是1，看起来是约定俗成的。然而，它具有一些非平凡的推理。与其他公理相配套，它确保概率函数至少取两个不同的值，并且概率函数存在着一个最大值是非平凡的。实际上，雷伊(re-nyi)在他的《概率的基础》(1967)中完全抛弃了正规化假定，允许概率取“∞”值。还有一些作者放松了经典逻辑对概率的限制，容许逻辑的或必然的真理被指派小于1的概率——也许是因为他们认为逻辑的或数学的猜想可以或多或少充分地被确证。此外，科尔莫哥洛夫公理2涉及了经典逻辑隐含地假定的“重言式”概念。相反，非经典逻辑的拥护者也许想用他们青睐的“重言式”的“异常”概念(也许需要在公理化时在别的地方作相应的调整)。因此，构造主义者主张概率论建立在直觉主义逻辑的基础之上。
　　无穷概率科尔莫哥洛夫概率函数取实数值。许多哲学家，例如刘易斯和斯基尔姆等取消了这个假设，容许概率从分析的一个非标准模型的实数中取值。尤其是，他们容许概率是无穷的：正数但又小于每一(标准)实数。按照标准概率论，在无穷概率空间中的各种非空命题通常都会得到0概率，而这样一来，这些命题被指派正的概率实质上就会被认为是不可能的(考虑随机地选择来自[0，1]区间的一个点)。而在不可数空间里，正则概率函数不可避免要取无穷值。
　　抛弃可数可加性科尔莫哥洛夫最有争议的公理无疑就是连续性公理——例如，可数可加性的“无穷部分”也就是如此。他把它看作是使数学精致的一种理想化，而没有任何经验意义。德·芬内蒂在他的《概率、归纳与统计》(1972)一书中列举了一组反驳这种观点的论证。其中一个具有代表性的论证是：可数可加性要求人们对事件的不可数划分指派极端有偏的分布。实际上，对于任何δ＞0，无论多么小，都将存在着有穷数量的事件，这些事件具有至少1-δ组合概率，从而使所有的概率拥有最大的份额。
　　抛弃有限可加性人们甚至提出了放弃有限可加性的各种概率论(所谓非可加性概率理论)。登普斯特－谢弗(dempster-shafer)理论按照下列规则定义一个信念函数bel(a)：对于ω的每一个子集a，bel(a)就是a的子集的数之和。谢弗在《结构概率》(1981)中给出了这样的解释，假定主体将发现ω上的某一命题，那么bel(a)就是主体将发现a的信念度。bel(a)+bel(-a)不一定等于1；实际上bel(a)和bel(-a)从函数角度看是相互独立的，信念函数有许多与库普曼的下界概率相同的形式性质。蒙金(mongin)在《认知逻辑与非可加性概率理论间的一些联系》(1994)中表明，认知模态逻辑与登普斯特－谢弗理论之间有着重要的联系。　　所谓“培根式概率”表示另一种背离概率演算的非可加性概率。一个合取式的培根式概率等于这个合取支概率的最小值。这种“概率”在形式上类似于模糊逻辑的隶属函数。科恩在《可几的与可证的》(1977)中认为它们对于测度归纳支持和评价法庭证据是恰当的。
　　其他学者如杰拉答托(ghirardato)的含混背离模型、沙克尔的潜在惊奇函数、杜波依斯(dubois)和普拉德(prade)的弗晰(fuzzy)概率理论、施梅德勒(schmeidler)和韦克尔(wakker)分别提出的期望效用理论以及斯庞(spohn)的非概率信念函数理论有助于我们进一步了解非可加性概率理论。而在杰拉答托的《不确定性的非可加性测度》(1993)和豪森《概率论》(1995)中有更多的讨论。
　　
　　三、对非科尔莫哥洛夫概率理论的评析
　　
　　如上所述，虽然符合经典概率演算系统的概率逻辑(即帕斯卡概率逻辑)就其本身来说是正确的，但它的效力还不够大，于是人们自然期望对帕斯卡概率逻辑放松限制，这就导致了非科尔莫哥洛夫概率理论的出现。由于非科尔莫哥洛夫概率理论抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，许多学者因而放弃了对科尔莫哥洛夫概率演算作出恰当解释的追求。根据哈克的观点，“如果一个系统与另一个系统有着共同的词汇，但却有一个不同的定理／有效推理的集合，那么，这个系统就是对第一个系统的偏离；一种异常逻辑就是一个偏离了经典逻辑的系统”。陈波也认为，“变异逻辑就是由否定或修改经典逻辑的一个或多个假定而导致的系统，它们至少在某些定理上与经典逻辑不一致”。非科尔莫哥洛夫概率理论由于对经典概率演算系统的公设或公理进行了修改或放松了限制，因而是一种异常逻辑。
　　具体地说，非科尔莫哥洛夫概率理论放松了帕斯卡概率逻辑对概率赋值与概率函数的限制或者否定了经典概率演算系统的某些部分。主要表现在：第一，经典概率演算系统只允许基本概率在[0，1]区间取值，而非科尔莫哥洛夫概率理论使概率的取值范围扩大了，例如，他们认为概率值可以取否定和复数值，或者他们允许概率是无穷的；第二，他们认为经典概率演算的某些部分是不可接受的，因而他们抛弃了科尔莫哥洛夫公理系统的某些部分，比如抛弃西格马子结构、抛弃精确概率、完全抛弃数学概率、抛弃正规化公理和抛弃可数可加性；第三，由于抛弃了科尔莫哥洛夫概率演算的有限可加性，因而经典概率演算系统中的正则性、明确性和有限可加性不再成立。科尔莫哥洛夫概率系统与非科尔莫哥洛夫概率理论的关系类似于经典逻辑与相干逻辑或直觉主义逻辑的关系：因此可推断出，非科尔莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率逻辑的变异。
　　我们可以通过对沙克尔的潜在惊奇理论和柯恩的归纳支持和归纳概率分级句法理论的分析来说明非科尔莫哥洛夫概率理论是一种异常逻辑。沙克尔首先认识到：对于人文系统中的不确定试验，一般来说不可能事先构造样本空间ω，于是他提出了第一个非帕斯卡概率理论——潜在惊奇理论来描述非分布式不确定性——即当事人不可能事先构造ω时所面临的不确定性。潜在惊奇理论是度量x关于某一假说的潜在惊奇值和潜在惊奇值运算规则的理论。因此，它是非帕斯卡概率的主观主义解释。潜在惊奇理论具有一系列不同于帕斯卡概率的特征：(1)非分布式不确定性度量定义在不完全样本空间上；(2)在该样本空间中不存在必然事件；(3)任一属于该样本空间的事件h不发生时，～h并不必然发生，即帕斯卡概率论的互补律在此不成立。由于沙克尔的潜在惊奇理论否定了帕斯卡概率论的互补律，因而这一理论可以被看作是一种异常逻辑。
　　柯恩在对培根和穆勒的排除归纳法研究的基础上，独立地提出第二个非帕斯卡概率理论——归纳支持和归纳概率分级句法理论。柯恩继承了培根思想中的恰当性方面并且扬弃了卡尔纳普归纳逻辑不恰当的方面，柯恩归纳逻辑的主要特点是强调归纳逻辑与自然科学和社会生活实际的紧密联系，即注重归纳逻辑的恰当性和可应用性。他认为，归纳逻辑的形式系统应与不完全理论系统相协调。因而，他以否定的非互补律取代了否定的互补律；在柯恩的系统中，排中律不成立；关于事实问题的非帕斯卡概率不具有可加性，而只能分等级；考虑到科学实际中假说h不能作为证据，他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。显然，所有这些表明了柯恩的归纳逻辑是一种异常逻辑。柯恩系统在法庭证明领域、科学方法论的接受理论领域、科学说明领域、性向领域以及语法理论领域都能应用，因此表明了比经典概率演算系统具有更大的可行性。
　　总而言之，从某种意义上说，非科尔莫哥洛夫概率理论实际上是帕斯卡概率逻辑的发展，因为非科尔莫哥洛夫概率理论是一些学者在帕斯卡概率的各种解释遇到这样那样困难的情况下提出来的。非科尔莫哥洛夫概率理论与经典概率演算系统之间虽然是竞争的，但它们可以同时存在，因为它们的支持者从他们各自不同的立场出发研究概率逻辑。

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