中小学生数学知识观的调查研究

　　1前言

　　数学观是人们对数学的认识和看法。由于研宄领域、研宄视角等方面的不同，研宄者对数学观的内涵有着不同的分析。在哲学范畴里，数学观是世界观的一部分，是对数学本质的认识。而在数学教育领域里，数学观是学习与教学观念系统中的一种。综合索梅(Schommer)对一般学习观的分析以及舍恩费尔德(Schoenfeld)对学生数学观的研宄，刘儒德等人提出中小学生的数学观由数学知识观、数学学习观和数学自我概念三部分构成。其中，数学知识观涉及对数学知识的确定性问题、简单性问题、社会性问题以及数学的价值等认识|1]。张奠宙等人有着类似的看法。他们认为学生在数学学习中的信念或观念涉及到三个方面:关于数学的信念、关于数学学习的信念、关于自己的信念|21。

　　学生的数学观作为一种元认知知识，是学生先前经验中重要的组成部分。学生的数学观制约数学学习，影响学生的数学学习动机、学习策略、学习成绩等。同时，学生的数学观也是数学学习的结果之一，是在学校数学学习过程中发展起来的。香港中文大学以黄毅英为主的数学观研宄小组的一些研宄结果表明，许多学生认为数学是符号与数字的运算，涉及思考且有实用性因而他们的问题解决方式十分机械化，问题解决行为被“数学课堂文化”。国外不少研宄表明学生的数学观与学校数学经历紧密相关，因而一些教学干预研宄希望通过改变数学课堂学习环境来提升学生的数学观。

　　目前，国内对学生数学观进行理论探讨的比较多，而微观层次上的实证性研宄比较少而且深度不够，一些描述性结论还需要进一步的验证。比如我国中小学生数学观是否存在差异？不同数学学业水平学生的数学观是否存在差异？这些方面都还缺乏直接的实证证据.

　　本研宄旨在探讨中小学生数学观中的数学知识观。具体地来说，本研宄选取小学六年级和初二学生作为研宄对象借鉴黄毅英的研宄材料，采用假设性情境题目和数学认识问卷分析中小学生的数学知识观，同时考察两个研宄变量：年级和学业水平。我们希望能够了解中小学生的数学知识观的特点及发展，为后继研宄累积资料。

　　2研究方法

　　2.1被试

　　有效被试为温州市一所小学的六年级两个班共90名学生，以及一所中学的初二年级两个班共106名学生.其中，男生101人，女生95人。请这四个班级的数学教师根据学生的平时数学学习情况，取数学成绩排名前面的约20%学生为优秀学生，数学成绩排名后面的约20%学生为后进学生，中间的60%为中等学生，结果区分出优秀学生38人，中等学生125人，后进学生33人。

　　22测查工具

　　本研宄所采用的问卷由两部分构成。第一部分是12道假设性情境题目，取材于黄毅英所使用的研宄材料。请学生判断这12种假设性情境是不是在做数学或用数学，回答“是”记1分，回答‘否’记0分。第二部分是改编的数学认识问卷。参考黄毅英等人对学生数学观的分析|31，问卷包括三个维度维度一是“数学涉及运算”，包括3个项目，Cronbacha系数为0.572考察学生对数学与运算关系所持的态度。维度二是‘数学涉及思考”，包括8个项目，Cronbacha系数为0.620,旨在考察学生对数学涉及思考的认i识维度三是“数学具有实用性”，包括9个项目，Cronbacha系数为0.883,旨在考察学生对数学具有实用性的认识。一共由20道题目，部分取材于东北师范大学于卓的硕士论文。题目采用利克特量表五级评定：很不同意”、“比较不同意”、“不确定”、“比较同意”、“很同意’，分别记分为“1”、“234”、“5”；否定性题目反向计分。

　　23调查过程

　　问卷施测是在两所学校放学后以班级为单位集中进行的，整个过程约需15-20分钟。

　　24数据处理

　　采用SPSS10.0统计软件处理和分析数据。

　　3研究结果

　　31被试对假设性情境回答的人数百分比

　　表1为被试认同12道假设性情境是做数学或用数学的人数百分比。总体上看，按照被试认同做数学或用数学的人数百分比从高到低，题目排列为Ts>T4>T6>T12>T1>T2>T7>T0>T11>T3=T9。被试对假设性情境认同程度

　　差异比较大，可分为三个水平，前面的T5、T4、T6这3道题的认同程度均在80%以上；中间的T12、T1、T2、T7这4道题认同程度约在50%-60%之间；后面的TK)、Tn、T8、丁3、乃这5道题学生认同程度低于三分之一(33.3%)另外，在每道题目上初二年级的认同程度都高于小学六年级。按照认同程度，六年级学生的题目排列为Ts>T4>T6>Ti2>T1>Tx>T7>

　　由表2可见，从总体上看，年级主效应极其显著初二学生认同程度显著地高于六年级学生，学业水平的主效应不显著也不存在年级与学业水平的交互作用。就具体题目而言，T2、T5、T6、T7、T9、T12这6道题存在显著或极显著的年级差异，题

　　表3运算、思考、实用性

　　目T12存在显著的学业水平的差异，题目T4、Ti〇存在显著的年级和学业水平的交互作用.

　　33被试在数学涉及运算、思考、实用性三个维度上得分的方差分析

　　被试在数学涉及运算、数学涉及思维、数学的实用性三个维度得分的描述性分析及方差分析的结果见表3、表4。

　　由表3可见，就总体而言，被试在数学涉及运算维度上平均得分是10.06在从最低分3分到最高分15分的连续体上处于中上位置;在数学涉及思考维度上平均得分是31.26在从最低分8分到最高分40分的连续体上处于高分位置;在数学实用性维度上平均得分是37.32从最低分9分到最高分45分的连续体上处于高分位置。

　　由表4可见在数学涉及运算维度上，年级主效应不显著，学业水平的主效应显著，不存在年级与学业之间的交互作用；事后分析表明，中等生的得分最高，并且显著地高于后进生(p=0.014)在数学涉及思考维度上，年级主效应没有达到显著水平;学业水平的主效应不显著；不存在年级与学业水平之间的交互作用。在数学实用性维度上，年级主效应极显著，六年级学生的得分显著地高于初二学生;学业水平的主效应不显著;不存在年级与学业水平之间的交互作用。

　　4讨论

　　4.1学生数学知识观的基本情况分析

　　在假设性情境判断中，认同程度超过80%的3道题目所涉及的内容是长度测量、分数大小比较、用计算器进行加法计算这些都是属于数学课程中的基本内容。认同程度在50%一60%之间的题目所涉及的内容是估算估计、抽象的图形（正弦曲线）这些是属于数学课程中的选学内容或高年级的学习内容。认同程度低于三分之一的题目所涉及的内容是单纯的观察、生活中的判断选择、具体的图形，这些内容及其表述都

　　相当生活化，很少出现在数学教材中。

　　由于算术运算是数学课程中的一个基础内容，因此学生在判断各种假设性情境时，无论是估算、测量还是数字比较，都有很强的做运算的倾向，如果觉得这些情境中会有数学运算，就判断是做数学或用数学。这一点验证了黄毅英等人提到的学生认为数学是‘可计’的研宄结果|3)。例如，题目Ti、T7、Tn的内容都涉及到估计，但学生的认同程度分别属于三个水平，这说明学生在判断时并不认为估计本身就是数学，而主要是看是否涉及数字与运算。另外，值得注意的是题目T6表明学生己经普遍接受利用计算器来进行计算，而在黄毅英1996年的研宄中不少学生不赞成用计算器计算是做数学，因为‘不是他自己算，是机器算出来的”。这说明随着时代的发展计算器与计算机己经进入数学课堂。另一方面，黄毅英等人研宄认为学生对几何图形的认识受到压抑;在本研宄中，学生对图形还是区别对待的，他们比较能够认同抽象的曲线而不是具体的拼图。

　　在数学认识的三个维度上，学生在很大程度上肯定了数学涉及思考、数学的实用性，表现出比较高的理论认识水平；而只是在中等程度上肯定数学涉及运算，这说明随着数学课程经验的积累，高年级小学生和初中生己经不再把数学狭隘地理解为等同于运算，或者说学生认识到涉及运算的是数学但是数学不等于运算。

　　在本研宄中，假设性情境判断与数学认识问卷结果之间存在某些不一致性。比如，虽然学生在回答问卷时相当强调数学与社会实践以及日常生活之间的联系，但在判断假设性情境时却倾向于把在日常生活有广泛应用的数学如记录、观察、数学决定等方面看成是与数学无关的。对此的解释是学生对假设性情境的判断折射出的是一种对数学知识性质的素朴、内隐的认识;学生对问卷题目的回答直接反映了一种对数学知识性质的理论上的认识。学生数学知识观作为一种个体认知的结果，未必是一种系统的整合的观念系统，至少存在两个层次的认识:一个层次是素朴、直觉、内隐的认识，不一定能够有意识地提取但却能支配数学行为，来源于个体对数学经验的表面的直觉的概括;另一个层次是理论上的认识，直接来源于学校教育。刘儒德等人在解释开放式问卷与封闭式问卷所反映出的数学知识观之间的不一致性时有过类似的分析|6]。

　　42中小学生数学知识观的比较

　　在对假设性情境的判断上，初二学生的认同程度显著地高于六年级学生。这种年级效应直接验证了学生数学课程学习经验在很大程度上影响他们的数学知识观。小学生的数学课程内容主要是算术知识与简单的几何图形，而初二学生开始比较系统地学习代数、几何等数学学科基础知识，因而对数学知识的丰富性有更充分的认识.

　　在数学涉及运算和数学涉及思考两个维度上，初二学生的肯定程度都比六年级学生高但没有表现出显著差异。在数学实用性上初中学生的肯定程度却显著下降。对此可能的解释是:其一，初中的数学课程内容更具有抽象性。小学的算术知识与日常生活的联系很直接学生接触到数学语言与曰常语言比较接近;而初中学习的数学知识与日常生活之间直接联系比较少而且学生需要熟悉不同于日常语言的数学语言系统。其二，由于面临学生升入高中的考试压力等，我国初中数学教育的目的带有更多的功利性特点而远离其实用‘性。

　　43学业水平与学生数学知识观

　　许多研宄调查了学生的学习观、知识观与学习动机、学习过程及学业成绩之间的关系，结果都表明，学生是否具备正确的和成熟的学习观与他们的学业表现有非常密切的联系111。而在本研宄中，不管是假设性处境判断还是数学认识问卷的结果都不能表明学业水平对数学知识观的明确的影响。对于这种现象，我们的解释是:其一，不同学业水平学生的数学观的差异，主要表现在数学学习观与数学自我概念上而在数学知识观上则表现出较多的一致性其二，在特定的学校文化环境中，由教师和各个学生组成了学习共同体。学习共同体中的成员相互影响，形成某些共识。而这些共识一旦确立，就获得了很强的生命力，在很大程度上制约个体行为。学生的数学知识观正是这些共识中的一类内容。其三本研宄中假设性情境判断题目所涉及的数学知识难度并不高。如果增加数学知识的难度，学生学业水平对其判断的影响可能加强。比如，题目乃2存在学业水平的显著差异而内容涉及到的是正弦曲线。

　　5结论

　　51中小学生数学知识观形成及发展与学校数学课程内容紧密相关。同时，数学知识观既有素朴、直觉、内隐的认识层次也有理论上的认识层次。

　　52中小学生数学知识观存在差异。在对假设性情境的判断上，初二学生的认同程度显著地高于六年级学生；在数学认识问卷上，在数学涉及运算、数学涉及思考两个维度上不存在年级差异，在数学实用性上，六年级学生的肯定程度显著地高于初二学生。

　　53从总体上看，学生的学业水平与数学知识观的关系不大。