数学建模思想在解高考数学题中的应用探究

《普通高中数学课程标准（修订）》提出我国中学生在数学学习中，应培养好六大核心素养，数学建模就是其中的六大数学核心素养之一，它是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，把现实世界的原型问题进行数学抽象与提炼，用数字、符号或图形表格等建立数学模型，继而应用数学工具、方法求出数学模型的解，进而还原为实际问题的解，并与原型问题进行对照修改、深化、扩展，再寻求更优化的解答.近几年高考相当重视数学建模思想的考查，下面以高考数学题为载体进行探究. 

　　一、函数模型 

　　挖掘数学应用问题的隐含条件，建立目标函数，把问题转化为函数模型求解. 

　　例1（2016年四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）. 

　　（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） 

　　A.2018年 

　　B.2019年 

　　C.2020年 

　　D.2021年 

　　解析设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金为y，由题意有y=130（1+12%）n，又y>200，得1.12n>2013，两边取对数，得n>lg2-lg1.3lg1.12≈195，所以n≥4，选B. 

　　点评：本题是指数函数模型在实际生活中的应用，考查了在实际问题中提取数量关系、建立数学模型，在不等式的求解过程中，考查了数据处理和运算求解能力. 

　　二、线性规划模型 

　　线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中有着广泛的应用.在高考数学试题中，有关线性规划的应用与求解是热点与难点，主要有迁移线性规划思想求函数的最值问题、通过二元一次不等式组表示的平面区域来确定实际问题的最优解等数学模型. 

　　例2（2016年全国Ⅰ卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生產一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元？ 

　　解析设生产产品A，产品B分别为x，y件，利润之和为z元，那么， 

　　1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+. 

　　目标函数为z=2 100x+900y.作出二元一次不等式组的平面区域（如图所示），即可行域为图中的阴影部分，包括边界内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），当直线z=2 100x+900y经过点（60，100）时，z取得最大值216 000元. 

　　点评：试题以工业生产中的现实问题为载体，考查线性规划最优解的模型，侧重数学建模、分析解决问题和运算求解能力的考查，对数形结合思想和方法要求较高. 

　　三、排列组合模型 

　　排列组合应用问题蕴含着许多丰富的数学思想和方法.其因内容的抽象、思维的独特、解题方法的特殊性而成为高考数学科命题的一个热点和考点，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，构建“排位置”“投球入盒”“抓球”“填格子”等几种数学模型来求解，则可简捷、巧妙地解决. 

　　例3（2013年全国卷）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答） 

　　解析本题属有条件的“排位置”模型，可用直接法或间接法求解. 

　　思路1：先排甲、乙共有10A22=20（种）排法，再排其余的4个人，有A44=24（种）排法，据分步法原理，可知所求共有20×24=480（种）. 

　　思路2：用间接法.6个人排成一行的排法总数为A66=720（种），其中甲、乙两人相邻的排法数为2A55=240（种），所以6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有720-240=480（种）. 

　　点评：试题以生活中的真实情境为素材，考查考生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决实际问题的能力，在运算过程中应合理应用排列组合公式优化运算，引导考生关心身边的数学问题、发展数学应用意识. 

　　四、立体几何模型 

　　新课程标准明确指出教师可借助几何模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.在高考中常考的模型有柱体、锥体和台体，因此，教师应灵活运用模型化，处理立体几何知识及生活中与几何图形有关的应用问题，帮助学生找到解题突破口，把问题化难为易. 

　　例4（2015年全国Ⅱ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）. 

　　A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

    解析因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的四分之一圆周长为8尺，从而可得米堆的底面半径R=16π尺.又圆锥的高为5尺，可算得米堆的体积为V=3203π立方尺，所以可估算出米堆约有22斛，选择B. 

　　点评：试题以《九章算术》中的问题为背景，传承了中国文化，考查了考生的应用意识和数学建模思想.根据米堆形状和所给条件，建立立体几何模型，计算出堆放米的体积，着重考查考生空间想象、逻辑推理、运算、应用和估算能力，体现了新一轮高中课程改革的要求. 

　　五、概率统计模型 

　　在近几年的全国和各省市高考试题中，“概率与统计”应用问题是考查的重点内容，试题非常注重理论联系生活实际，常考的数学模型有古典概率、互斥事件、条件概率、分布列、二项分布、正态分布、直方图、茎叶图、线性回归模型等等. 

　　例5（2014年全国新课标Ⅰ卷）4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）. 

　　A.18B.38C.58D.78 

　　解析由题意知4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4名同学都选周六有1种情况，4名都选周日有1种情况，故周六、日都有同学参加公益活动的概率为p=24-1-124=78，故选D. 

　　点评：试题选取考生熟悉的情境，属于简单的古典概率模型问题，考查了概率的基本知识和方法，引导考生关注生活中的数学问题，增强数学应用意识. 

　　例6（2016全国新课标Ⅰ卷）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 

　　上年度出险次数01234≥5 

　　保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 

　　设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 

　　一年内出险次数01234≥5 

　　概率0.300.150.200.200.100.05 

　　（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； 

　　（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； 

　　（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 

　　解析（1）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55. 

　　（2）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P（B）=0.1+0.05=0.15. 

　　又P（AB）=P（B）， 

　　故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）=0.150.55=311， 

　　因此，所求概率为311. 

　　（3）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为： 

　　X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a 

　　P0.300.150.200.200.100.05 

　　EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a， 

　　所以續保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23. 

　　点评：试题考查互斥事件、条件概率、分布列等模型，通过概率、数学期望的计算考查运算求解能力，通过随机变量的分布列考查数据处理能力，利用贴近生活的实际问题考查分析问题、解决问题的能力、应用意识和数学建模思想方法. 

　　纵观多年的高考数学应用题，取材贴近生产、生活熟悉的情境和当前社会的热点问题，数学建模灵活多样，试题注重数学文化的承传和数学应用意识的培养，有利于考生进一步理解数学的价值和数学知识在生活实际中的应用，侧重数学建模这一数学核心素养的考查，在常规教学中，要重视多用案例融入数学建模思想的新的教学方法，探索新的教学模式，加强学生的实践性教学环节，培养学生的应用意识和探索创新能力.