中小学数学知识结构探究

　　新课标认为，数学知识包含客观的数学事实和以之为载体的主观活动经验、思想方法和应用技能[1]。数学知识并非是现实的拷贝，而是对现实（包括人类己有知识）的逻辑建构，且往往都是看不见的。结构决定功能，因此，我们有必要考察数学知识的结构形式。

　　结构是“系统诸要素相对稳定的联系方式”。数学知识的结构就是数学知识体系中各知识点的一种相对稳定的联系形式。一个抽象的集合只不过是一组元素而己，无所谓结构，一但引入了一种联系方式，就形成了一种结构。例如，实数集引入通常加法就形成了基本的代数结构一群。知识本身具有复杂的结构形态，同时在结构中显现其特性。一方面，数学知识的结构，不是各组成部分的简单排列和组合，而是受一整套内在规律支配，各部分以不可分割，不可简化，互为补充的方式运作。这套规律超越并支配着知识结构的每一种表现形式，决定了结构的性质和功能，任何部分的意义由它和既定情景中其他部分之间的关系确定。例如，正数、负数和零组成实数域结构，它受到有序性、完备性的支配，独立存在的一个实数没有任何实际意义。另一方面，假如离开了知识的各种表现结构，知识便失去了自己存在的意义。人类对客观世界的认识经历了千百万年，历代数学家积累下来的数学知识浩如烟海。以数学知识的组织方式为逻辑范畴，可将数学知识结构分为四种类型：逻辑结构、认知结构、教材结构和教学结构。下面分别阐述其对中小学数学教育的作用。

　　1逻辑结构是数学知识系统的基础

　　逻辑推断是贯穿数学知识的主线。由公理出发并严格按逻辑规律构造的知识结构就是逻辑结构。数学知识的逻辑结构是非线性的树状结构，它的根在不停地向下延伸，它的枝叶在不停地向上生长，今天己成为一棵枝繁叶茂根深的参天大树。

　　数学知识的逻辑结构以《几何原本》为典范。公理化方法加强了似乎彼此相距很远的那些数学领域之间的联系，把某一领域得出的方法（结论）应用于与之同构的其他领域，从而获得一系列重要成果。这种结构方法从个别推出一般，是非常经济的思维。公理化思想方法不仅渗透到数学的每一个分支，而且影响到其余科学领域，它避免了“无限向前推”的情况，把人们的目光引到向后推一今后的发展上，类似数学这样建立起的知识体系才是科学。按解释法，几何公理体系和实数公理体系的无矛盾性都可归结为自然数算法的无矛盾性，但自然数算法的无矛盾性不可能用它自己内部形成的方法来证明，因此，数学中的公理化方法有一定的界限，数学知识的逻辑真实性也有一定的界限。于是，公理化方法在中学数学教学中的地位被逐渐削弱了，旨在让学生体会公理化思想的过程。

　　传统认为“‘数学是研宄数量关系和空间形式的科学”在现代数学中“数”和“形”需要在更加广阔的意义下去理解！布尔巴基学派认为，数学是研宄形式结构的科学，数学各分支应能按结构性质来归类和统一，具体地说就是，利用形式公理化方法抽象出各数学分支的各种结构，找出各分支之间的结构差异，从而获得各分支之间内在关系的清晰图象。即用结构的观点来看待数学全局的每个分支。今天的数学己不再是彼此分开的章节所集合起来的一堆东西，而是一个巨大的相互联系的结构体系。这些结构原来都是从三种“母结构”一代数结构、序结构、拓扑结构一脱胎出来的。由此可以形成各种子结构和多重结构。例如，实数域同为上述三种结构的多重结构。

　　2认知结构是学生学习的出发点和归宿

　　所谓“认知结构”是指学科知识的实质性内容在学习者头脑中的组织结构。这种知识结构是由学科知识的基本概念、原理、过程、思想方法以及它们之间的关系组成。数学学习是数学认知结构的组织（同化）和重新组织（顺应）并形成新结构的过程，即是一个“再创造”过程。任何一门学科知识的学习就是在学生的头脑中形成一定的知识结构。良好的认知结构不是知识点的简单堆积，而是经个体理解并重新组织过的、稳定的、可利用的统一体。

　　儿童在入学之前很久，就因社会环境的作用而学会了数数，从而可以学会一些经验性知识与准则。皮亚杰以他的朋友作为结构主义的范例：有一位数学家小时候对数学第一次发生兴趣是因为一次偶然的游戏，他把一堆石子排成一行，发现无论从那端开始去数石子，石子总数都是一样的。次序不在石子之中，正是他自己把石子排成一条线。总数不在石子之中，也正是他自己把它们合并在一起。石子总数表现了这一堆石子之间的数量关系。在这个例子中包含了数学事实、数学活动经验、思想等。次序、总数等就其本身而言是没有意义的，它的意义事实上由它和游戏中的其他因素所决定的。总之，任何数学事实或经验的意义除非它被结合到结构（它是其中的组成部分）中去，否则便不能被人们感觉到。儿童在生活中下意识的排序、分类和玩几何模型玩具等，是在为知识的形成提供理想的基础，其可能就在构筑日后出现的集合论！学龄前儿童在十分狭窄的范围内意识到或认识到数量、序列与拓扑。因此，我们必须让儿童积极构筑个人技能与算术概念及逻辑概念的基础，儿童今后的全部数学知识结构都将以此为基础。

　　儿童在学校中主动地建构认知结构，数学教学应易于学生根据特定目标生成新的知识结构。如学习负数时，由生活中的收支盈亏问题引入，揭示盈亏的内在联系，理解引入负数的必然性,从而建构新的认知结构,同时也是对原认知结构的进一步认识和理解，并得到重组。如图1表示学生在学习过程中认知结构形成的一般过程：学习者首先下意识地将新知识纳入原有认知结构--同化新知识，使认知结构的数量得到扩充，当原有认知结构不能同化新知识时，则必须改造或创建新的认知结构，才能和新知识相适应一顺应，才能维持生物演化的平衡机制。

　　3教材结构体现了一定的社会价值标准

　　教材结构是指教材要素体系的框架结构。它反映了学习者认识客体的活动及进程。一般认为数学教材要素是知识点，而知识点由知识与技能（含事实、概念、原理、公式），过程与方法，情感、态度与价值观三大部分组成。数学教材中，由知识点构成知识树、知识网、知识块和螺旋体等结构，并以有利于学生建构稳定的、可辨的和可利用的认知结构为首要标准。编写教材不但要注重数学知识之间的逻辑关系，还应考虑表现数学知识的符号与客观事物的联系，以及与人的关系，从而实现教材对学生的教养、教育和发展功能。因此,教材结构当以一定的社会价值标准为基础,提出某些标准作为教材建设的理论前提，使之成为编写教材的依据，并研宄如何才能符合这些标准。用发展的眼光来看，中小学学生应学习将来最有价值的数学，教材就要回答“应该学什么”的问题。由于社会的多元化，教材也具有社会多元化特点，教材的典型代表教科书也应是多样化的。

　　数学教材只是数学知识这座冰山露出水面的冰峰的一角，其显著特点是不追求数学科学本身的完备性和覆盖面，不要求公理体系的独立性，此时，扩大了公理的数量，也不太要求严格的论证，这一点与数学史不谋而合。旦是，精确的定义、严密的演绎展开、几乎没有多余的文字叙述，用人为编造的内容情节来呈现知识，还是让学生难于理解“淡化形式，注重实质”己经成为共识，力求把干巴巴的、符号化的学术形式演绎体系，转化为生动活泼、有血有肉的教育数学形态，就是为了便于学生学习。新一轮基础教育课程改革理念指导下所开发的教材，重心己从教师如何教，转移到学生如何使用教材上，寻求学生心理发展与数学本身发展逻辑的整合，赋予教材中数学知识更多的社会价值观，最终使学生明白学习数学的意义何在，价值在哪儿。

　　4教学结构是实现数学教育目的的必要手段

　　数学教学是人类活动之一，是一种以参与者为主体，并在一定文化环境中所从事的创造性活动。某种教学结构是为达到某一方面教学目的而设计的教学活动典范。在实际教学过程中,教学结构所包含的因素由于其组合方式的不同而具有多种不同的形态，并有各自独特的功能。尽管教学结构种类繁多，但都主要由目的、目标、程序、策略、内容和评价等因素组成。例如，问题情境一建立模型一解释一应用一拓展这种教学结构，让学生经历知识的形成与应用过程，从而更好地理解数学知识的意义。1]讲授式教学结构包括：诱导学习动机一感知理解教材一巩固知识一运用知识一检查反馈5个基本步骤，常用于系统知识和技能的讲授和学习。

　　研究数学教学结构，就是研究数学知识构建、传播与吸收的过程及规律，其目的是缩短儿童认识数学知识的过程，实现对数学知识的真正理解，而不是简单的会做。人逻辑成分的多少来看，至少可将数学知识分为二类：一类是常规的东西。数字名称、线段、角、一年的月份等常识，如同“为什么汽车不靠左行驶”一样，都是心智努力而无法发现的，应该逐字逐句地教，使儿童赋予我们所用词语的意义跟我们头脑中所想的定义相同，只有记住才行，必要时可熟练地复述并随时利用。另一类基于理性思考的东西则应该去理解。如“稀稀拉拉的自然数和密密麻麻的有理数一样多”又如：儿童在理解基数意义（指一个有限集合的整体）之前，模仿成年人，“依葫芦画瓢”，以“最后一个数字来回答是多少”的问题。要从本质概念上真正掌握基数，不仅要了解最后一个数字指所有计算成分的总数，而且还要知道，它包括着按顺序保留的此前的所有较小的数字。随着学习的不断深入，需要理解地掌握的数学知识愈来愈多，只有真正理解了数学知识孕含的思想方法，才能转变为数学能力。

　　知识是无法传递的，传递的只是信息。在数学课程中既有凝固的、明示的知识信息，也有流动的、隐喻的知识信息。学生在数学教学过程中感受、体验获得的情感、态度与价值观，是可学不可教的，甚至是只可意会，不可言传的！在数学教学结构中，主体之间多向传递对数学知识的认识的信息，学生由此建构数学认知结构。由于教学活动是多种教学结构的有机整合，任何一种教学结构都不是孤立存在的，教学效果也往往是多种教学结构的综合效应，因此，每种教学结构作为解决具体问题，完成目标的一种工具，需要相互配合，才能发挥各自的最佳效能。根据不同的目标、内容、环境等，可采取不同的教学结构。

　　5小结

　　数学知识的逻辑结构是其余结构的基础。数学知识的认知结构是学生学习的出发点和归宿！数学知识的教材结构体现了社会发展的理念，由教材编写者来实现，是学生认知结构的主要来源。数学知识的教学结构是认知结构，教材结构和逻辑结构等在学校教学中的集中体现。这几种结构是教师在教学设计中自觉不自觉都要考虑的。各种结构之间相互包摄及相互嵌套，实现着一种跨结构之间的交流。

　　数学知识的几种结构的表现形式都不是唯一的。同一知识点在系统逻辑结构、认知结构、教材结构、教学结构中的位置是不尽相同的，正是这种差异，推动了课程改革的深入，使学习数学知识的过程成为学生个性发展发展的过程，从而每个学生都能得到充分的发展。厘清数学知识的几种结构，找出相应的对策和措施，才能有的放矢，使我们的教学工作走上一个新的台阶。应当注意的是，尽管从四个维度来考察数学知识结构，作出了划分，但我们仍持有一种“整体的”信念，其中任一维度均是全息式的，每一维的结构与整体结构具有“自相似性”这是现代教学论给我们的启示。