极限思想在数学课堂中的渗透

摘　要：极限思想是一种非常重要的数学思想，在数学教学过程中有着相当重要的地位和作用，灵活的运用极限思想，可以将有些数学问题化难为简，避免一些复杂的数学运算，探索出新的解题方向或转化途径，还可以帮助学生有效地提高自己的解决数学问题的能力。

关键词：极限思想；无限分割；数学；渗透

【正文】极限思想是一种非常重要的数学思想，在数学教学过程中有着相当重要的地位和作用，在数学课堂中有意识的给学生渗透基本的数学思想就显得尤为的重要。而且，极限思想还可以帮助学生有效地提高自己的解决数学问题的能力，灵活的运用极限思想，可以将有些数学问题化难为简，避免一些复杂的数学运算，探索出新的解题方向或转化途径。那么，如何把极限思想有效地渗透到数学课堂中呢？我将根据我的数学教学的具体实践谈谈极限思想在数学课堂中的渗透。
一、 在介绍数学史上的三大数学危机中的悖论思想时渗透极限思想
　　数学史上出现了三次大的数学危机，也正是这三次大的数学危机促使数学有了更快、更大的发展。其中的第三次数学危机中的悖论思想也给数学界带来了翻天覆地的变化。关于悖论思想，有这样一个小故事：兔子和乌龟赛跑，起初乌龟在兔子前100米，兔子每分走10米，乌龟每分走1米，兔子永远追不上乌龟。兔子永远追不上乌龟的理由是：当兔子走完100米的时候，乌龟已经向前走了10米，当兔子再向前走10米的时候，乌龟又向前走了1米，当兔子继续向前走1米的时候，乌龟又向前走了0.1米，当兔子再向前走0.1米的时候，乌龟又向前走了0.01米，……所以兔子永远追不上乌龟。学生显然不能接受“兔子永远追不上乌龟”这个观点，其实兔子追上乌龟的时间是10+1+0.1+0.01+0.001+……= (分)，也就是说兔子和乌龟之间的距离越来越小，兔子追上乌龟上一次的终点所用的时间越来越短，最后达到一种无限接近的状态，这也是一种极限思想的影射。
    在生活中也不乏这样的实例：一个苹果，今天吃它的一半，明天吃它的一半的一半，后天吃它的一半的一半的一半，……如果这样下去，这个苹果吃得完吗？这个苹果是永远吃不完的，理论上是这样，实际上也是这样，尽管苹果越来越小，但还是有的（只要你有耐心，米粒大的物质是有的）。我们只能说，这个苹果的极限为零，但却绝不为零。这些问题都使极限理论中的无穷的概念在学生的脑海中产生了朦胧的定义，这样的教学却可以使学生在头脑中初步萌生出极限的概念。
二、 在数学公式推导中渗透极限思想
　　要推导一个圆的面积公式，可以把它转化为我们学过的图形。首先把圆平均分成两个部分，再沿着圆心继续平分成4个、8个、16个、32个、64个……完全相同的小扇形，并把图拼成近似于长方形的图形，通过课件演示，让学生看一看、想一想、如果一直这样分下去，拼下去会怎样？因为扇形的弧越来越短、也越来越直，最后拼成的图形就真的变成了长方形。
　　要推导圆柱的体积公式，可以将圆柱的底面平均分成无数多份，它的底面就转化为一个长方形，整个圆柱也就成了一个长方体，将圆柱沿高的方向切分成无穷多个细长的长方体，每个长方体的体积都是“底面积×高”，根据乘法分配律，这无穷多个小长方体的体积之和正好是“它们的底面积之和×高”，也即是圆柱体的“底面积×高”。
　　以上两个计算公式的推导过程，都是采用“化圆为方”、“变曲为直”的极限分割思想。在观察有限分割的基础之上，可以想象无限的细分，根据图形分割组合的变化趋势，想想它们的终极状态。这样不仅可以是学生形象的掌握圆的面积和圆柱的体积公式的推导过程，而且在这种变化的过程中、在曲与直的矛盾转化中形象的感受了无限逼近的极限思想。
三、 在教学新的知识点时渗透极限思想
     许多人认为0.99……这个数无论小数点后面9的个数怎样增多，它始终只能越来越接近1，而不等于1。我在教学过程中从两方面来说明0.99……等于1。首先学生很容易理解1÷3=0.33……，2÷3=0.66……，因为（1÷3）+（2÷3）=1，所以0.33……+0.66……=1，也就是0.99……=1；其次，0.99……和1比较大小，让学生找大于0.99……而小于1的数，学生找不到这样的数，从而告诉学生0.99……=1。
     当然，在数学教学中，能够挖掘渗透极限思想的地方还有很多，比如说：空间集合体中，棱柱、棱台、棱锥之间是可以相互转化的，棱锥是棱柱的上底逐渐缩小的一种极限状态；同样，圆柱、圆台、圆锥之间也是可以相互转化的，圆锥也是圆柱的上底逐渐缩小的一种极限状态。这种集合体之间的相互转化关系就体现了一种动态的极限思想。
     总之，极限思想是人类思想文化宝库中的一朵奇葩，它不光是对数学本质的反映，也是吧知识转化为能力的一种纽带。我们可以在教学中更多的挖掘极限思想的渗透，让学生去体会和感受这种思想方法，这样学生沉淀下来的就不仅仅是数学知识，更主要的是一种数学的素养，为他们以后构建新的数学知识体系，进一步拓宽数学的空间，独立学习和研究更高深的数学理论打下坚实的基础。
    

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