数学知识生成过程的认识与实践

　　义务教育数学课程标准注重过程性目标，用经历、体验、探索等词汇刻画学生的数学活动水平，强调使学生经历数学知识的产生和发展过程，在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。笔者认为，正确把握数学课标的这一理念，就是要从数学的学科特点和学生认知特点出发，以数学教材为基本依据，

　　挖掘数学知识所蕴涵的教育资源，为学生设计一个数学活动经验积累和数学知识自我建构的过程，使他们在数学知识的理解和应用的过程中，

　　不断激发数学学习的兴趣，提升数学思维，培养创新精神和实践能力。本文将在阐释数学知识生成过程含义的基础上，着重讨论“过程性”教学的实践问题。

　　-、数学知识生成过程的认识

　　数学知识是客观事物在数与形方面的特征与联系在人脑中的能动反映。“数学知识是人类认识的一种成果，包括人对周围事物‘数’与4形’方面的经验和‘有秩序的论理体系’两个方面。当前，人们把数学知识分为明确知识（如数学事实、数学原理等）和默会知识（如数学思想方法、解决问题的策略等）。”[1]数学知识不仅表现为数学概念、定理、法则、公式等“陈述性知识”，还表现为数学思想方法等“程序性知识”。M(m把数学知识分为陈述性知识和程序性知识，是对数学知识本质理解的深化。实际上，数学概念、定理、公式、性质、法则等陈述性知识中蕴涵着丰富的数学思想方法；而数学思想方法是建立在数学概念、定理、法则、公式之上的，如果没有数学的基本事实、基本原理、基本概念，也就谈不上什么数学思想方法。

　　传统上，数学教科书更关注知识的逻辑结构，强调定义的准确性、逻辑的严密性等，常常以一种学术化的、确定的方式呈现，对知识的发生发展过程以及学生的主体活动重视不够。新一过栏目创新，设置了大量的数学知识可生成素材。教师“创造性地使用教材”，就是要结合当地的教学条件，从学生的年龄特征和认知基础出发，将教材提供的素材转化为现实的知识生成过程，经过课堂教学实施，实现学生对数学知识的“知其源（追溯源头）、会其神（领悟本质）、通其用（感受价值)”的实践活动。下面以“数轴”概念的教学设计为例给予说明。

　　案例1“数轴”概念教学片段

　　[生活情景]

　　在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画出图表示这一情境。

　　[独立研究]

　　学生结合自己巳有的知识对问题进行分析、比较，教师注意在学生独立研究时进行巡视指导，关注他们画图的方法。

　　[问题思考]

　　怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对的位置关系（方向与距离)？（概括共同本质特征得到概念的本质属性）

　　[教师评析]

　　教师组织学生进行讨论，对研究情况进行分析、评价。在学生研究、交流后展示：

　　如图1，为了使表达清楚，从相反意义的量的关系看，可以把点O左右两边的数分别用负数和正数表示。再让学生对以正、负数表示的实际意义给予分析。

　　像这样，“带有数据的直线”还有很多，如直尺、弹簧秤、温度计（如图2)等。

　　[数学建模]

　　图2中的温度计可以看作是表示正数、0和负数的直线吗？它与图1中的直线有什么共同点，有什么不同点？

　　(学生结合两个图形的共同点进行比较、图2思考，教师注意对学生的比较情况给予评价。)

　　共同点：都是一条直线，都有表示方向的箭头，都有表示相反意义的两种量的数据：正数、负数。

　　不同点：一条直线是水平的，另一条是竖直的，所表示的数据的刻度长度不一样。

　　教师引导学生从两个问题的图形中寻找共同本质特征，可以得到图3。

　　数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素。

　　数轴的画法：师生共同总结画数轴的步骤。

　　一般而言，注重知识生成过程的概念教学应经历以下环节：（1)背景引人；（2)通过典型丰富的具体事例（尽量让学生自己举例），引导学生展开分析、比较、综合等活动；（3)概括共同本质特征，得到概念的本质属性；（4)下定义(用准确的数学语言表达）；（5)概念的辨析;(6)用概念作判断的具体事例；（7)概念的精致。

　　(三）生成性资源的捕捉数学教学是思维的教学。“在数学教学中高超地捕捉学生思维的闪光点（课堂中生成的资源）的能力是教师教学水平的集中体现。”“在教学中，如果教师能及时发现即时生成的教学资源，并通过恰当的问题激发学生进一步思考，就能有效地促进学生的数学理解。”[1]要使学生真正理解数学，必须让他们在亲历亲为的探索中获得体验。由于学生的个体差异，常常会出现个性化的语言、直觉结论、典型错漏、新奇构思、灵感、讨论碰撞等所形成的智慧火花，这些都是生成性知识的重要源泉。教师要随着学生思维的拓展、心态的逆转和情绪的波动，敏锐把握各种教育契机，捕捉课堂中出现的问题、疑难、困惑、创新（甚至是意外）等生成性资源，适时加以引导、深化，创造性地加以重组，以形成新的数学知识生长点。

　　下面是“三角形的内角”生成性资源捕捉的教学案例。

　　案例2-点锁定180°

　　[探究新知]

　　(1)情景、设疑

　　师：同学们回忆一下，我们在小学是用什么方法来验证“三角形的内角和等于180度”的？

　　(2)剪纸、拼图

　　生1:用量角器量各个内角的度数，计算它们的和，得出结论。

　　生2:用撕拼的方法，将三角形中的两个角剪下，拼在第三个角旁，看是否构成平角。

　　生3:用折纸的方法，将三个角折叠到一起。

　　师：上面三名同学为我们提供了验证的方法。下面我们以小组为单位进行验证，验证完后请同学代表你们的小组上来展示验证方法。

　　生4:我们用两种方法进行验证：

　　一种方法是测量法，如图4，分别测得ZA=58°,^B=62°,ZC=60%这样就有：ZA+ZB+ZC=58°+62o+60o=180°；

　　另一种方法是剪拼法，如图5，将ZA、剪下拼到点C处，可以得到ZA+ZB+ZC=180。。

　　师：在图5中你怎样判断ZA+ZB+ZC=180。？

　　它们拼成了一个平角。

　　生6:我们小组也是用剪拼的方法，不过拼的方法和他们的不一样。这是我们拼的图形（如图6)，ZA、ZB,ZC也拼成了一个平角。

　　生7:我们小组是这样拼的，只把移动拼在ZC处（如图7)。根据两直线平行，同旁内角互补，可得到?.ZA+ZB+ZC=180°。

　　(3)发现、生成

　　师：好，数学结论正确性是要建立在推理基础上的。上述实验结果是否可靠，还需要加以证明。刚才的拼图过程已经为我们提供了证明思路和方法，请把你们的方法由来及证明方法在小组内说说。再请一名同学代表你们小组进行“学术报告”。在汇报结束后，我们针对他的方法和依据提出问题，然后请做汇报的同学答辩。

　　生8(第6小组的代表）：过点C作CD//AB,延长BC到E，证明过程如下：

　　因为Z1-Z：A，Z2=ZB,所以ZA+ZB+ZC=180。。

　　生9:生8的说理过程有问题，以下是我们小组的说理过程：

　　因为CD//AB，所以Z1=ZA(两直线平行，内错角相等），

　　Z2=Z-B(两直线平行，同位角相等），又因为2八(^+幺1+幺2=180°(平角意义），所以

　　师：不错，补充以后因果关系就比较清楚了。老师还有一个疑问，你是怎样想到过点C作AB的平行线CD的？

　　生8:由图5的拼法可以发现：把ZA剪下并拼到点C处时，得到ZA=ZA，根据内错角相等，可以得到两直线平行；反过来，如果两直线平行，那么ZA=ZA，就相当于把ZA剪下并拼到点C处。这样，我们就得到图8的作平行线方法。

　　师：你们很善于借助拼图中的经验，如果不作平行线呢？

　　生10:如图9，我直接在点C处以点C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外画Zl=ZA。理由如下：

　　因为Z1=ZA，所以CD//AS(内错角相等，两直线平行)。

　　因为CD//AB，所以=(两直线平行，同位角相等)。

　　所以ZA++ZC=Zl+Z2+ZACB=180。。

　　师：好！其他小组还有别的方法吗？

　　生^(第4小组的代表）：我们受图6的启发，过点C画EF//AB，如图10。这样相当于把ZA、拼在ZC的两旁。理由为：

　　因为EF//AS，所以Z1=ZA，

　　Z2=ZB(两直线平行，内错角相等)。

　　所以ZA+ZB+ZC=Z1+Z2十ZACB=180。。

　　生12：(第1小组代表）：我们受拼图7的启发，如图11，

　　过点C作CD//AB。理由如下：

　　因为CD//，所以+ZBCD=180°(两直线平行，同旁内角互补）。

　　所以ZA+ZB+ZACB=180°。

　　生13:我认为生13的说理不够准确。应在第一个“所以”后加上“zacd=za(两直线平行，内错角相等)”。

　　师：我有点佩服大家了（学生笑），不仅能从拼图中发现方法，采用不同的途径证明“三角形的内角和等于180度”（板书），而且道理也讲得明白。

　　(4)拓展、探究

　　由于平行线这种辅助线作法在平面几何中有着很重要的应用，教师抓住时机，提出问题。

　　师：有人说“过平面上任一点作三角形边的平行线均可证明三角形内角和结论”，你们认为行吗?

　　一石激起千层浪，此时，学生已发现过三角形的顶点作对边的平行线可达目的。学生在学习小组内展开了积极的讨论，尝试过其他点画平行线，不一会儿就有学生举手。

　　生3:如囹12，在BC上任意取一点P，作PE//AC,PD//AB。说理过程如下：

　　因为PD//AB，所以=ZA=Z2(两直线平行，同位角相等)。

　　因为PE//AC，所以=(两直线平行，同位角相等)。

　　Z4=Z2,(两直线平行，内错角相等)。所以ZA+ZB+ZC=Z3+Z4+Z1=ZBPC=180°o

　　生u(第2小组的代表）：如图13，在AABC的内部任取一点P，

　　分别作MV//BC、PD//AB、尸E/MC。因为MN//BC,所以ZAMN=ZB,ZANM=ZC(两直线平行，同位角相等）。

　　接下来就可以转化为生3的证明方法了。

　　生15(第3小组的代表)：在AABC外任取一点P，如图14所示，分别作MN//BC交AB、AC的延长线于点M、N,作PD//AB、PE//AC^\\交AC，AB于点Z)，E。

　　证明方法和生14的方法差不多。

　　在学生解决问题之后，教师提出一个更能激发学生继续研究的问题，引导学生进入到新的研究境地，学生在这个研究境地中发现的就不再是一招一试的解决问题的方法，而是通过合作研究，发现不同的解决问题的方法之间的转化所在。让学生“身不由己”经历从“一般到特殊”，再由“特殊到一般”的过程。

　　(5)归纳、升华

　　师：大家都研究好了，那么，如何把我们研究的方法归纳一下呢？

　　生:我认为从作平行线的点的位置分类归纳好些，可分三种情况：点在三角形边上；点在二角形内；点在二角形外。

　　师：好！请一个同学把刚才的方法归纳一下。

　　生17:我们发现过三角形所在平面内的任意一点作三角形边的平行线，均可达到目的：

　　①如果过三角形的顶点做平行线，只需作一条平行线即可，如图8，图10，图11的情形；

　　②如果过三角形一边上一点作平行线（顶点外，含边的延长线上的点），需作两条平行线，如图9的情形：

　　③如果过三角形内或外一点作平行线，需作三条平行线，如图13、图14的情形。

　　师：通过以上各种方法的研究，我给你们的研究方法概括为：一点“锁定”180度。

　　正当教师准备结束三角形内角和结论的论证时，又有一个学生把手高高举起了。

　　生18:我们发现过三角形的任一顶点作平行线也可论证。下面是论证过程：

　　如图15，在BC：上取点D，连接AD,过点B,C’分别作B?：//AD，CF//AD,

　　因为BE//AD，CF//AD,所以BE//AD//CF,

　　所以Z1=Z3，Z4=Z2(两直线平行，内错角相等），

　　ZEBC+ZFCB=m°(两直线平行，同旁内角互补）。

　　又因ZBAC=Z3+Z4,所以ZABC十ZBAC+ZACB=m°,即180。。

　　师：很好！这种方法是正确的，我都没有想到这样的方法，看来研究这个问题的方法还是很多的，相信同学们一定还能发现其他方法。课后继续在小组内研究交流，好的方法告诉老师。

　　通过教师的引导，把学生研究的方法加以归纳总结，学生研究问题的思想方法就不再是零散的、单一的，而是“多法合一同时，也点燃

　　?100?

　　了学生思维的火花，为今后多边形内角和的论证提供了方法上的借鉴。

　　在捕捉生成性资源时，上述课例强调了学生已有的知识背景（三角形内角和的知识），学生的实践活动（动手剪拼），学生的抽象概括（由剪拼图抽象成几何模型），学生的知识迁移（由几何模型到辅助线的作法），学生的思维发散(强调联系、联想），渗透数学思想（分类、化归、一般与特殊）。

　　(四）生成性评价的构建

　　生成性评价的目的主要是对学生在数学学习过程中表现出的行为和状态进行调控。生成性评价活动与学生的数学学习活动融为一体，与教学过程同步进行，关注学生在教学活动中的表现，为改进教学进程提供即时信息。生成性评价的构建依托数学知识生成过程来进行定位，从数学知识的生成性教学目标的确定步人，在课堂实施环节中，对教学内容（数学知识）的生成性预设与实践进行评价，突出课堂活动中师生互动形成的生成性资源的评价。这样.教学评价不仅关注了知识的形成过程，关注了课堂师生教学活动，而且能用发展的眼光关注生成性资源的构建，从学生主体发展角度进行评价，落实全面发展的教学评价目标。

　　基于此，在生成性评价构建中应主要突出以下几个重要环节。

　　1.关注学生在生成过程中的思考方法和思维习惯的评价

　　作为教师，要从数学知识的生成性教学目标确定那一刻起，就应引导学生对数学的思考和理解，关注学生的思考问题的方法和思维习惯。不应只关注是否记住了某些公式、定理以及是否获得了某个数学问题的解答。只有加强对学生思考方法和思维习惯的关注，学生才会在教师指导下，对数学问题才会刨根问底、独立思考，激活创新思维，于“无意识”中迸发出“生成性”火花。

　　2.关注学生在生成过程中发现问题和提出问题能力的评价

　　善于从相关学习材料中发现问题，并通过抽象、概括提出问题的能力，更能体现学生探究能力、实践能力和创新思维能力和水平。在生成性评价中，要对学生发现和提出问题的能力进行评价，关注他们发现与提出问题的积极性和自信心，借助评价引导学生学会欣赏他人“发现”的结果，并逐渐形成“追问”和“质疑”的意识。这样，才能为生成性资源创设“迸发’’的空间。

　　3.关注学生在生成过程中数学表达和交流能力的评价

　　数学表达和交流能力包括叙述能力、判断能力、质疑能力和释疑能力等。在数学知识生成过程教学活动中，教师引导学生进行数学表达和交流活动是十分重要的，在生成性评价中关注学生的数学表达和交流能力的评价，能引导学生大胆展示自己，主动参与与他人合作、交流的活动，正是在这样的个体和群体的互动中，学生往往会以意想不到的“表现”表达和阐述自己独到的见解，弥补教材中无法呈现的生成性资源。

　　4.关注学生在生成过程中不断反思和改进能力的评价

　　在探究新知识生成的学习过程中的反思和改进能力，能够加深学生对数学核心知识的理解和掌握，有利于培养学生的批判性思维、创造性思维等高层次思维能力。我们可以借助数学知识生成过程的学习活动，预设“反思和改进”的活动过程，引导学生参与其中，内置一个个师生、生生、生本等交流与互动效果的评价过程，在有层次、有节奏、重参与、重发展的动态评价模式下，促使生成性评价的动态性、发展性等效能的实现。

　　三、结束语

　　通过对数学知识生成过程教学的探索与实践，我们深刻地体会到，数学教学既要关注数学知识的发生发展过程，又要关注数学结论（结果）。数学教学的根本目的在于丰富学生的数学知识，发展学生的数学思维，提高学生的数学能力，培养学生的理性精神，让学生学会发现问题、提出问题、研究问题和解决问题，并在研究和解决问题过程中掌握思考问题的数学思想、数学方法。注重知识生成过程的教学，在建立新内容的知识结构和方法结构上，关注学生已有数学知识的基础，充分体现“从学生已有经验出发”的理念；在课堂上，让学生享有充分的独立思考的时间和空间，能充分发表自己的见解；教师“通过恰当的问题，引导学生主动思维、独立思考，使学生经历完整的学习过程，引导学生在已有认知基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去”学生碰到困难时，教师适时地介入学生的交流和探究活动，和学生形成数学学习的共同体。因此，强调知识的生成过程是实现数学教学根本目的的最佳途径。