求方程实根的一种迭代方法

　　关于求方程实根的具有大范围收敛的迭代方法，近年来受到广泛的重视，出现了许多有 意义的成果.但在这些方法中，有的需要计算函数的二阶导数，有的对函数的性质要求 高.本文给出了一个不需要计算函数二阶导数的迭代公式，它对函数性质要求低，并论证了 该公式的大范围收敛性及收敛速度?最后给出了数值例子?

　　1 迭代公式的建立

　　设 /(a) 6 cz[_ajb]

　　由台劳展开式得：

　　/(?r) = f{x~ ) + f (x~ ) (x - X7 ) +- x~ )2/2，a

　　或/(工）=f{Xn ) + /，- x广）+ 尸(f+)(?r - X； )2/2,a < c+< 6

　　其中，6 (?6),且< xt，令：

　　giCr) = ) + f (x^)(j: - x；f ) + D+ (x - xtY/2(3)

　　g*2(x) - f{x~ ) + /; {x； ) (x - x;) + D~ (x - x~ y/2(4)

　　\ 一 M± f (xt) > 0 ,

　　其中，Z)士I广(6士）|，比较（1)，（4)和（2)，（3)式有：

　　[M±/(xr) < 0

　　当/?)>0时， 当{fix) - gx(x) ^ 0(5)

　　\f(x) - g2(x) ^ 0/Cr?) <0 时，

　　(6)

　　{/(x) - ^i(^) < 0,(7)

　　I/O) - g2{x) < 0(8)

　　因此，用方程幻U) = 0大于xt的根作为/Or) = 0大于W的最小根的近似值，用方

　　收稿日期：1992-10-09程a(x> = 0小于■r；'的根?r>"+i作为/(x) = 0小于工:的最大根的近似值.由一元二次方 程求根方法可得：

　　x:+i = xt + 2f(.xt)/[- /'?) + (sign/(x.+ )> VA.+ ](9)

　　x~+l = x~ + 2/(x7 )/[- f (.x~ ) - (sign/Cr;)) VaF](10)

　　其中，△?士 =[尸 U,士)]2 - 2/U?士 )D士 _

　　2 M±的确定

　　定理l设/u) e ^0，6]，且满足条件：

　　(1)/(a)/(6)<0；

　　(2)尸(x)在|>，6]上不变号；

　　(3)尸（工）#0，:c 6 [a,6].

　　则 I 尸(0丨 <2 丨一尸(6) + 尸(a)|/|5 -a|，

　　其中，5=min{a- (b - a)/(a)/[/(A) -/(a)] ,a -/(a)//(a)} .x* 为/(x)在U，6)上 的零点.

　　证明由台劳展开式得：

　　f(x') = f(a) + f(a)U' - a)+尸-a)2/2 = 0,

　　/(a) = /U*)+/,(7)(a-^>),

　　则尸(f) =一 2[/(?) + 尸(a)]/(z* - a)(11)

　　由文献[4]可知，/(x)在[a,6]上有四种不同情况，但只需对其中的一种情况证明即可 .故设在定理的条件下，函数/U)在卩，6]上有下列性质：

　　(1)/(a)> 0, /(? < 0；

　　(2)尸(x)<0，x€ 0，6]，即/'U)单调下降;

　　(3)尸（6)<尸（<2) < 0.

　　设 a = a ~ (b - a)/(a)/[/(6) - /(a)]，即 a = a + /(a) {b - a)/[/(a) - /(6)].

　　由于0 < /(a)/[/(a) - /(A)] < 1，所以a < ? < 6.由于fix)在0，A]上是单调下降的，

　　所以只需证/(?) <0即可得《

　　令 p、x) = /⑷ + [/(*) - /(a)](x - a)Kb 一 a)，显然《 是 p{x)的零点?

　　由插值法可得：

　　fix') = /(a) + [/(6) - /(a)](x - a)/(b - a)

　　+ /"(f)(x - a)(x - b)/2, a 0.

　　故有 a

　　令I? = a -/(?)//'(a)，则由台劳展开式得：

　　P = a- [/U*> +f(S)(a~ r-)]//(a)

　　=a + f (f)(a:* - a)//'(a、_，a c ^ x*

　　由于 /' (f) < f (a) < 0，所以 f (a) > 1.故有 f .因此，取S = min{a，仍，必有 a

　　I尸(f)| <2丨-fib) + fia)\f\x~a)\

　　用类似方法可证明其它三种情况.证毕

　　「1/2， x.± - x^Lj >1/2

　　如果令± _ ± ± _ ±且假设/(x)在上满足定

　　L 工》-工典-1,工《 -工*-1 ^ 1/Z,

　　理1的条件?则取

　　X: + K，/(工广)/(工：+K) > 0

　　x. = ^ min{x: - ht f{xt)/[/? + O - /(x广)],

　　xt - /(X: )/尸{xt)}，f{xt )/(工广 + O < 0

　　工；+ K ,fix： )/(x； + /i； ) > 0

　　x~ = - max{x~ -+ A; ) -/Cr:)],

　　x； - fix~ )/尸(x; )},fix: )fix~ + ^； ) < 0

　　f2[[/(xr)/(x^ - xiOl - I f ixf ) I]/(x^ - x^) yfixf )f(x^ + > 0

　　[2 \ - f (工？ + ht) + f (j：? ) |/|xt\ff{xf )/(x? + /i? ) < 0

　　由定理1可知：丨尸(OKM、

　　3 敛速估计

　　\

　　引理设/U) e c20，6]，且/u)在|>，6]上只有两个实单零点X*和f，(X* < f ).若 X* x~+1 > x'.

　　证明 因为：c* 0.

　　(1)若^，则由（9)，（10)式导出/(d)= 0，这与/Crf) > 0矛盾，故有xi古

　　亡?

　　(2)显然有X,++1> 成立.若工二，则由条件可知:/?+1)<0，即/(xr+1) - g：(x^+1) = /(x^-j-i) < 0.这与（5)式矛盾，故有 x:+1

　　同理可证明（> ^；+1 > X*.证毕

　　定理2设/U) 6 -(幻，且/(^)的所有实单零点按顺序排列为:rr

　　(1)若彳位于/U)的任意两个相邻实单零点工:和x/+1之间，即工:

　　工*+1(工：）?

　　(2)若x0_ <工0+ <:/ (x0+> x0~>x**),/6= 1,2,…….则由（9)( (10))式所产生的迭 代序列U.+ }({(})将单调递增（递减）地收敛于/U)最靠近(x0-)的一个实根.而

　　另一序列ur}(un)将发散到一oo(+co). 证明（1)的证明 由引理知，由（9)((10))式所产生的迭代序列{<})是单 调有界序列.故必有一实数二)，使得limi (Iimx7 = x ).同时注意

　　M-?oooo

　　到存在有限的极限值-/(x?) 土（Sign/(x?)) ^/A^)

　　由（9)，（10)式可得：

　　f{x±) = lim/(x* ) = limCxr+i -工?士）（一 /,Cr?士）士（sign/(x?士）\! A? )/2 = 0

　　?-*oo>~>o

　　由条件可知： >2：+=：1：/+1， = X；.

　　(2)的证明 由条件知，对于序列} ( ? })有4 > Xf >…(x?+ < xt <……）， 该序列没有下(上）界.否则，与/(X)的所有实单零点x/ a = 1，2，…）均位于X。- ? )的一 侧的假设矛盾，故有limx7 =- codimx： =+ ?=).另一方面，同（1)中所证的那样，序列

　　H _ oo?-? oo

　　ur}({x；}>必收敛于/u)最靠近的那个实单零点.证毕 定理3 设/U) G C2CR)，贝I]由（9)，(10)式所产生的迭代序列 }对/Or)的实单零 点具有二阶敛速? 证明设1=*^-々，贫O)如(3)，（4)式，S[I

　　贫(工）=/(工?) + f {xn){x - + D(x - xny/2 则 fix、- gix) = [/"(f) - D](x - x,)2/2，g{x* )=+[?) - fr(S)~]e?2/2*

　　由于是貧Cr) = 0的根,所以有：

　　gixm ) = g(x* ) -= g, (7)(x* - x?+1)

　　=C/'UJ + ?K7 - xdk十” rj g)

　　由上面两式可得：

　　e…/V == [D -广(?)]/2[尸(^) + D(rj - xj]

　　故有e?了x/C = LD-尸Cr* )]/2尸(x*)? - oo

　　即（9)，（10)式具有二阶敛速?证毕